Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
clx^2 sen 1x, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

A questão propõe verificar se a função
f(x)=x^2sin1x,&xneq00,&x=0
é contínua e derivável em x0=0. O conteúdo envolve limites (para continuidade), Teorema do Confronto e definição de derivada via limite do quociente incremental.

Passo 2

Para testar a continuidade em 0, calculamos
limxto0x^2sin1x
Como vale |x^2sin(1/x)|<= x^2 e x^2to0 quando xto0, temos
limxto0x^2sin1x=0=f(0)
Logo, f é contínua em 0.

Passo 3

Para checar a derivabilidade em 0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0h^2sin(1/h)h =limhto0hsin1h
De novo, |hsin(1/h)|<=|h| e |h|to0, então esse limite é zero. Assim, f'(0) existe e vale 0.

Resposta

A função é contínua e derivável em x0=0, com f'(0)=0.

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