Mostre que para uma transformação isotérmica de um gás ideal
. Esse resultado está coerente com o problema anterior?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação isotérmica de um gás ideal, vale
. Informação dada e importante: a transformação é isotérmica (ou seja, a temperatura fica constante) e o gás é ideal. Não há outras informações numéricas. A segunda pergunta é se esse resultado está coerente com o problema anterior.
Passo 2
Definição e fórmula para a energia livre de Helmholtz. A energia livre de Helmholtz é definida por
onde
é a energia interna,
é a temperatura e
é a entropia. Para variações finitas usamos a regra do produto para
:
Expliquei passo a passo:
vem da regra do produto (mesma coisa que no cálculo básico).
Passo 3
Aplicando a condição isotérmica à expressão de
. Como a transformação é isotérmica, temos
. Substituindo em cima,
Portanto, sob temperatura constante, a variação de
é
.
Passo 4
Definição e fórmula para a energia livre de Gibbs. A energia livre de Gibbs é definida por
onde
é a entalpia (
). Fazendo a variação e usando novamente a regra do produto,
Com
(isotérmico), isso simplifica para
Passo 5
Propriedade do gás ideal: Dependência de
e
somente com
. Para um gás ideal mono ou politópico (em geral para gás ideal), a energia interna depende apenas da temperatura. Podemos escrever, em geral,
onde
é o número de mols e
o calor específico a volume constante; assim
. Como
em processo isotérmico, segue
. De forma análoga, a entalpia satisfaz
portanto
quando
. Aqui
é o calor específico a pressão constante. Intuição física curta: para gás ideal a energia interna é puramente cinética microscopicamente, e a cinética depende só de
.
Passo 6
Substituindo
e
nas expressões de
e
. Usando os resultados dos passos anteriores,
Portanto obtemos
Isso mostra explicitamente a igualdade pedida.
Passo 7
Interpretação física e coerência com o problema anterior. Interpretando: em um processo isotérmico de gás ideal, nem a energia interna nem a entalpia mudam, então a variação das energias livres é determinada apenas pela variação de entropia multiplicada por
. Sobre coerência: se no problema anterior você encontrou que, em isotérmico para gás ideal,
ou que
e
reduziriam a
, então o resultado é coerente. De maneira geral, esse resultado é esperado e consistente com as propriedades termodinâmicas do gás ideal.
Resposta
Sim, é coerente.