Mostre que para uma transformação isotérmica de um gás ideal \Delta F=\Delta G. Esse resultado está coerente com o problema anterior?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação isotérmica de um gás ideal, vale \Delta F=\Delta G. Informação dada e importante: a transformação é isotérmica (ou seja, a temperatura fica constante) e o gás é ideal. Não há outras informações numéricas. A segunda pergunta é se esse resultado está coerente com o problema anterior.

Passo 2

Definição e fórmula para a energia livre de Helmholtz. A energia livre de Helmholtz é definida por
F = U - T S,
onde U é a energia interna, T é a temperatura e S é a entropia. Para variações finitas usamos a regra do produto para \Delta(TS):
\Delta F = \Delta U - \Delta (T S) = \Delta U - \bigl(T\Delta S + S\Delta T\bigr).
Expliquei passo a passo: \Delta(TS)=T\Delta S+S\Delta T vem da regra do produto (mesma coisa que no cálculo básico).

Passo 3

Aplicando a condição isotérmica à expressão de \Delta F. Como a transformação é isotérmica, temos \Delta T=0. Substituindo em cima,
\Delta F = \Delta U - T\Delta S.
Portanto, sob temperatura constante, a variação de F é \Delta U - T\Delta S.

Passo 4

Definição e fórmula para a energia livre de Gibbs. A energia livre de Gibbs é definida por
G = H - T S,
onde H é a entalpia ( H=U+pV). Fazendo a variação e usando novamente a regra do produto,
\Delta G = \Delta H - \Delta (T S) = \Delta H - \bigl(T\Delta S + S\Delta T\bigr).
Com \Delta T=0 (isotérmico), isso simplifica para
\Delta G = \Delta H - T\Delta S.

Passo 5

Propriedade do gás ideal: Dependência de U e H somente com T. Para um gás ideal mono ou politópico (em geral para gás ideal), a energia interna depende apenas da temperatura. Podemos escrever, em geral,
U = n c_V T + \text{constante},
onde n é o número de mols e c_V o calor específico a volume constante; assim \Delta U = n c_V \Delta T. Como \Delta T=0 em processo isotérmico, segue \Delta U=0. De forma análoga, a entalpia satisfaz
H = n c_p T + \text{constante},
portanto \Delta H = n c_p \Delta T = 0 quando \Delta T=0. Aqui c_p é o calor específico a pressão constante. Intuição física curta: para gás ideal a energia interna é puramente cinética microscopicamente, e a cinética depende só de T.

Passo 6

Substituindo \Delta U=0 e \Delta H=0 nas expressões de \Delta F e \Delta G. Usando os resultados dos passos anteriores,
\Delta F = 0 - T\Delta S = -T\Delta S,
\Delta G = 0 - T\Delta S = -T\Delta S.
Portanto obtemos
\Delta F = \Delta G = -T\Delta S.
Isso mostra explicitamente a igualdade pedida.

Passo 7

Interpretação física e coerência com o problema anterior. Interpretando: em um processo isotérmico de gás ideal, nem a energia interna nem a entalpia mudam, então a variação das energias livres é determinada apenas pela variação de entropia multiplicada por -T. Sobre coerência: se no problema anterior você encontrou que, em isotérmico para gás ideal, \Delta U=0 ou que \Delta F e \Delta G reduziriam a -T\Delta S, então o resultado é coerente. De maneira geral, esse resultado é esperado e consistente com as propriedades termodinâmicas do gás ideal.

Resposta

\Delta F=\Delta G=-T\Delta S
Sim, é coerente.

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