Em Rublolândia, circulam notas de 3 rublos e 5 rublos. Um cachecol custa 19 rublos, mas o comprador tem somente notas de 3 rublos e o vendedor somente notas de 5 rublos. Nestas condições, como o comprador pode pagar pelo cachecol?

Passo 1

O enunciado diz que o cachecol custa 19 rublos, o comprador só tem notas de 3 rublos e o vendedor só tem notas de 5 rublos. Vamos formular uma equação diofantina para representar a situação: o comprador entrega m notas de 3 rublos e o vendedor devolve k notas de 5 rublos como troco, de modo que o valor líquido seja 19 rublos.

Passo 2

Se o comprador entrega m notas de 3 rublos, ele paga 3m rublos. Se o vendedor devolve k notas de 5 rublos, o troco é 5k rublos. A diferença deve ser 19:
3m - 5k = 19.

Passo 3

Para encontrar inteiros m,k\ge0 que satisfaçam \,3m - 5k = 19, observamos a congruência módulo 3:
3m - 5k \equiv 19 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad -5k \equiv 1 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad 2k \equiv 1 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad k \equiv 1 \pmod{3}.
Logo k=3t+1 para algum t\ge0. Substituindo em 3m=19+5k
3m = 19 + 5(3t+1) = 24 + 15t \quad\Longrightarrow\quad m = 8 + 5t.
O menor caso é t=0, logo k=1 e m=8.

Passo 4

No caso m=8 e k=1:
  • O comprador entrega 8 notas de 3 rublos, totalizando 8\times 3 = 24 rublos.
  • O vendedor devolve 1 nota de 5 rublos de troco.
    O valor líquido pago é 24 - 5 = 19 rublos, que é o preço do cachecol, usando apenas notas de 3 do comprador e notas de 5 do vendedor.

Resposta

O comprador deve entregar 8 notas de 3 rublos (24 rublos) e o vendedor devolve 1 nota de 5 rublos de troco.

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