Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(1,1,1),(1,2,3), E=R^3;

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores X = {(1,1,1),(1,2,3)} em E = ℝ³ e nos pede para verificar se Span(X) = ℝ³. Vamos usar o conceito de geração de um espaço vetorial, que diz que um conjunto gera ℝ³ se suas combinações lineares podem produzir qualquer vetor em ℝ³.

Passo 2

Para gerar ℝ³, um conjunto de vetores deve ter dimensão do span igual a 3. Ou seja, precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes em ℝ³. Se tivermos menos vetores, a dimensão do subespaço gerado será no máximo igual ao número de vetores, e então não poderá ser todo ℝ³.
No nosso caso X tem apenas dois vetores. Seja V = Span(X). Então dim(V) ≤ 2. Logo V é um subespaço próprio de ℝ³ (não alcança dimensão 3). Podemos também ver explicitamente que nem todo (x,y,z) ∈ ℝ³ pode ser escrito como a(1,1,1) + b(1,2,3): isso leva ao sistema
a + b = xa + 2b = ya + 3b = z

Passo 3

que tem três equações para duas incógnitas. Em geral não existe solução para um triplo arbitrário (x,y,z). Portanto nem todo vetor de ℝ³ pertence ao Span(X).

Resposta

O conjunto X não gera o espaço ℝ³.

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