Questão 2 (7 pontos). Sejam A=(cccc1 & 2 & 4 & 1 1 & 3 & 6 & 1 5 & 1 & c & 4 5 & -1 & 1 & 3) e B=(cccc1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 7 & 8 & 1 & 0 4 & 0 & -1 & -1).
(a) Sabendo que det(A)=-3, calcule o valor de c.
(b) Calcule det(A^-1 cdot B^3).

Passo 1

A questão pede calcular em (a) o valor de c sabendo que det(A)=-3 e em (b) o determinante de A^-1cdot B^3. O conteúdo principal é determinantes de matrizes, usando operações elementares para achar det(A), a propriedade det(A^-1)=1/det(A) e o fato de que matrizes triangulares têm determinante igual ao produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Para achar det(A) em função de c, aplicamos operações de linha que não alteram o determinante:

Passo 3

R2 R2-R1, R3 R3-5R1, R4 R4-5R1

Passo 4

Isso leva a

Passo 5

Asim 1 & 2 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 0 0 & -9 & c-20 & -1 0 & -11 & -19 & -2

Passo 6

Como só o primeiro elemento da primeira coluna é não nulo, temos

Passo 7

det(A)=1cdotdet1 & 2 & 0 -9 & c-20 & -1 -11 & -19 & -2

Passo 8

Calculando esse determinante 3×3 por expansão na primeira linha:

Passo 9

det(A)=(1)l((c-20)(-2)-(-1)(-19)r)-2l((-9)(-2)-(-1)(-11)r)=-2c+21-14=-2c+7

Passo 10

Igualando a -3:

Passo 11

-2c+7=-3implies-2c=-10implies c=5

Passo 12

Para det(A^-1B^3) usamos a propriedade do determinante de produto e de inversa:

Passo 13

det(A^-1B^3)=det(A^-1),det(B^3)=1det(A),(det(B))^3

Passo 14

Como B é triangular inferior,

Passo 15

det(B)=1cdot2cdot1cdot(-1)=-2

Passo 16

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Passo 17

det(A^-1B^3)=1-3,(-2)^3=-8-3=83

Resposta

c=5 e det(A^-1B^3)=tfrac83.

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