Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
(1) proju v=projv u quaisquer que sejam u e v.
(2) Se^proju v=projv u então u=v.
(3) Se u, v não são paralelos e proju v=projv u então u perp v.
(4) Se proju v=u então v-u é ortogonal a u.
(5) Seproj^u v=0 então v=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações envolvendo projeção ortogonal de vetores como verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas. O conteúdo aqui é a projeção de um vetor sobre outro, cuja fórmula é
projuv=vcdotuucdotu,u

Passo 2

Para a afirmação (1), diz-se que projuv=projvu para quaisquer u,v. Isso é falso. Por exemplo, tome
projuv=(1,1)cdot(1,0)(1,0)cdot(1,0)(1,0)=(1,0),
Então
projvu=(1,0)cdot(1,1)(1,1)cdot(1,1)(1,1)=12(1,1)=(tfrac12,tfrac12),
mas
que são diferentes.

Passo 3

Na afirmação (2), se projuv=projvu então u=v. Isso também é falso: basta escolher vetores ortogonais, por exemplo
(1,0)cdot(0,1)=0
Como projuv=projvu=0, , temos
uneqv
mas .

Passo 4

Para a afirmação (3), se u,v não são paralelos e projuv=projvu, então uperpv. Isso é verdadeiro. Seja
c=vcdotu. Da igualdade
cucdotu,u=cvcdotv,v
seguimos que, se cneq0, então u e v seriam paralelos (pois um é múltiplo escalar do outro), o que contradiz a hipótese. Logo c=0, i.e. ucdotv=0, ou seja, uperpv.

Passo 5

Na afirmação (4), se projuv=u então v-u é ortogonal a u. Isso é verdadeiro. Da projeção
vcdotuucdotu,u=u
segue
vcdotuucdotu=1Rightarrowvcdotu=ucdotuRightarrow(v-u)cdotu=0

Passo 6

Na afirmação (5), se projuv=0 então v=0. Isso é falso: basta um vetor v ortogonal a u mas não nulo, por exemplo
projuv=0
pois vneq0 mas .

Resposta

(1) F, (2) F, (3) V, (4) V, (5) F

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