Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
(1)
quaisquer que sejam
.
(2)
então
.
(3) Se
não são paralelos e
então
.
(4) Se
então
é ortogonal a
.
(5)
então
.
(1)
(2)
(3) Se
(4) Se
(5)
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações envolvendo projeção ortogonal de vetores como verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas. O conteúdo aqui é a projeção de um vetor sobre outro, cuja fórmula é
Passo 2
Para a afirmação (1), diz-se que
para quaisquer
. Isso é falso. Por exemplo, tome
Então
Então
mas
que são diferentes.
Passo 3
Na afirmação (2), se
então
. Isso também é falso: basta escolher vetores ortogonais, por exemplo
Como , temos
Como
mas
.
Passo 4
Para a afirmação (3), se
não são paralelos e
, então
. Isso é verdadeiro. Seja
. Da igualdade
seguimos que, se
, então
e
seriam paralelos (pois um é múltiplo escalar do outro), o que contradiz a hipótese. Logo
, i.e.
, ou seja,
.
Passo 5
Na afirmação (4), se
então
é ortogonal a
. Isso é verdadeiro. Da projeção
segue
Passo 6
Na afirmação (5), se
então
. Isso é falso: basta um vetor
ortogonal a
mas não nulo, por exemplo
pois mas
.
pois
Resposta
(1) F, (2) F, (3) V, (4) V, (5) F