Sejam um espaço vetorial sobre o corpo e um conjunto finito de elementos de , isto é, . O subconjunto construído a partir dos elementos de da seguinte forma:
é um subespaço vetorial de , que vamos denotar por . Dizemos que um espaço vetorial é finitamente gerado se existe um subconjunto finito de maneira que .
Seja , determine o subespaço gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial V , que no caso é M2(R) , ou seja, o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O conjunto S contém duas matrizes específicas:
S = -1 & 2 -2 & 3 , 3 & -1 1 & 1
Queremos determinar o subespaço gerado por S , que chamamos de U = lang<= S rang<= . Para isso, vamos precisar entender o que significa combinar essas matrizes linearmente e verificar quais matrizes pertencem a U .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores. No nosso caso, matrizes são os “vetores”. O subespaço U é formado por todas as combinações lineares das matrizes em S . Isso significa que qualquer matriz U em lang<= S rang<= pode ser escrita como:
U = a cdot A + b cdot B
onde A = -1 & 2 -2 & 3 , B = 3 & -1 1 & 1 , e a, b são números reais.
Passo 3
Então, para encontrar todas as matrizes em U , vamos calcular essa combinação linear. Vamos multiplicar cada matriz por um escalar a ou b e somar os resultados:
a cdot A = a cdot -1 & 2 -2 & 3 = -a & 2a -2a & 3a
b cdot B = b cdot 3 & -1 1 & 1 = 3b & -b b & b
Agora, somamos as duas matrizes:
U = a cdot A + b cdot B = -a + 3b & 2a - b -2a + b & 3a + b
Passo 4
Então, qualquer matriz no subespaço U tem a seguinte forma:
U = -a + 3b & 2a - b -2a + b & 3a + b
onde a e b são números reais que escolhemos livremente. Isso significa que U consiste em todas as matrizes que podemos formar dessa maneira.
Passo 5
Para entender melhor, podemos analisar as entradas da matriz resultante:
A entrada (1,1) é -a + 3b
A entrada (1,2) é 2a - b
A entrada (2,1) é -2a + b
A entrada (2,2) é 3a + b
Essas equações mostram como cada elemento da matriz em U depende dos coeficientes a e b .
Passo 6
Podemos também observar que temos dois parâmetros ( a e b ), então o subespaço U é bidimensional dentro do espaço M2(R) , que tem dimensão 4 (já que cada matriz 2x2 tem 4 entradas independentes).
Resposta
O subespaço U gerado por S consiste em todas as matrizes da forma
- a + 3b & 2a - b -2a + b & 3a + b
onde a e b são números reais. Ou seja, U = lang<= S rang<= é o conjunto de todas as combinações lineares das matrizes em S conforme descrito acima.