Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
e
um conjunto finito de elementos de
, isto é,
. O subconjunto
construído a partir dos elementos de
da seguinte forma:
é um subespaço vetorial de
, que vamos denotar por
. Dizemos que um espaço vetorial
é finitamente gerado se existe um subconjunto finito
de maneira que
.
Seja
, determine o subespaço gerado por
, onde
e
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e um conjunto finito de vetores
, onde:
A tarefa é determinar o subespaço gerado por esses vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e geração de subespaços em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é o subespaço gerado por
. Isso quer dizer que
contém todos os vetores que podemos formar combinando os vetores de
com escalares reais. Em outras palavras:
Aqui,
são números reais que multiplicam cada vetor de
.
Passo 3
Vamos escrever essa combinação linear de forma mais explícita usando os vetores dados:
Fazendo a soma componente a componente, temos:
Então, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos analisar quantos parâmetros independentes temos para descrever
. Observamos que
depende das variáveis
, mas podemos simplificar isso.
Note que a terceira componente de
é simplesmente
. Vamos chamar
. Então:
Podemos reescrever isso separando os termos:
Mas, já que estamos buscando simplificar, podemos fixar alguns parâmetros para ver a relação entre os componentes.
Passo 5
Vamos tentar expressar
em termos de duas variáveis livres. Observando as componentes:
Podemos fixar
como uma variável independente, digamos
, e
como outra variável independente, digamos
. Então:
Agora, queremos expressar
em termos de
e
, deixando
como uma função delas.
Passo 6
Para simplificar, vamos imaginar que
é nossa terceira variável livre. Então, podemos reescrever o vetor
da seguinte forma:
Isso mostra que
é gerado por dois vetores independentes:
e
. O vetor
também pode ser considerado para a geração.
Passo 7
Analisando a independência linear dos vetores, vemos que os três vetores originais não são todos independentes. De fato,
pode ser escrito como uma combinação de
e
:
Isso significa que
não adiciona nenhuma nova dimensão ao subespaço
.
Passo 8
Portanto, o subespaço
é realmente gerado apenas por
e
, e podemos descrevê-lo como:
Isso simplifica a representação do subespaço, mostrando que ele é formado por combinações lineares de dois vetores independentes.
Resposta
O subespaço gerado por
em
é:
Este é um subespaço bidimensional de
.