Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=R^3, determine o subespaço gerado por v1, v2, v3, onde v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = R^3 e um conjunto finito de vetores S = v1, v2, v3 , onde:
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0)
A tarefa é determinar o subespaço gerado por esses vetores, ou seja, U = lang<= S rang<= . Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e geração de subespaços em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que U é o subespaço gerado por S . Isso quer dizer que U contém todos os vetores que podemos formar combinando os vetores de S com escalares reais. Em outras palavras:
U = alpha1v1 + alpha2v2 + alpha3v3 , | , alpha1, alpha2, alpha3 in R
Aqui, alpha1, alpha2, alpha3 são números reais que multiplicam cada vetor de S .

Passo 3

Vamos escrever essa combinação linear de forma mais explícita usando os vetores dados:
alpha1(1, 1, 1) + alpha2(1, 1, 0) + alpha3(1, 0, 0)
Fazendo a soma componente a componente, temos:
(alpha1 + alpha2 + alpha3, alpha1 + alpha2, alpha1)
Então, qualquer vetor u em U pode ser escrito como:
u = (alpha1 + alpha2 + alpha3, alpha1 + alpha2, alpha1)

Passo 4

Agora, vamos analisar quantos parâmetros independentes temos para descrever U . Observamos que u depende das variáveis alpha1, alpha2, alpha3 , mas podemos simplificar isso.
Note que a terceira componente de u é simplesmente alpha1 . Vamos chamar alpha1 = z . Então:
u = (z + alpha2 + alpha3, z + alpha2, z)
Podemos reescrever isso separando os termos:
u = z(1, 1, 1) + alpha2(1, 1, 0) + alpha3(1, 0, 0)
Mas, já que estamos buscando simplificar, podemos fixar alguns parâmetros para ver a relação entre os componentes.

Passo 5

Vamos tentar expressar u em termos de duas variáveis livres. Observando as componentes:
u = (z + alpha2 + alpha3, z + alpha2, z)
Podemos fixar alpha3 como uma variável independente, digamos x , e alpha2 como outra variável independente, digamos y . Então:
u = (z + y + x, z + y, z)
Agora, queremos expressar u em termos de x e y , deixando z como uma função delas.

Passo 6

Para simplificar, vamos imaginar que z é nossa terceira variável livre. Então, podemos reescrever o vetor u da seguinte forma:
u = z(1, 1, 1) + y(0, 1, 0) + x(1, 0, 0)
Isso mostra que U é gerado por dois vetores independentes: (1, 1, 1) e (1, 0, 0) . O vetor (0, 1, 0) também pode ser considerado para a geração.

Passo 7

Analisando a independência linear dos vetores, vemos que os três vetores originais não são todos independentes. De fato, v3 pode ser escrito como uma combinação de v1 e v2 :
v3 = v1 - v2
Isso significa que v3 não adiciona nenhuma nova dimensão ao subespaço U .

Passo 8

Portanto, o subespaço U é realmente gerado apenas por v1 e v2 , e podemos descrevê-lo como:
U = alpha1(1, 1, 1) + alpha2(1, 1, 0) , | , alpha1, alpha2 in R
Isso simplifica a representação do subespaço, mostrando que ele é formado por combinações lineares de dois vetores independentes.

Resposta

O subespaço gerado por v1, v2, v3 em R^3 é:
U = alpha1(1, 1, 1) + alpha2(1, 1, 0) , | , alpha1, alpha2 in R
Este é um subespaço bidimensional de R^3 .

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