(E) Seja R uma região limitada do plano \mathrm{O} x y com fronteira de conteúdo nulo. Defina área de R usando as somas de Riemann.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos a área de uma região limitada R\subset\mathbb R^2 cuja fronteira tem conteúdo nulo, usando somas de Riemann. Vamos usar o conceito de integral dupla da função característica de R sobre um retângulo que o contenha.
Passo 2
Escolhemos um retângulo Q que contenha R. Seja
P=\{Q_{1},Q_{2},\dots,Q_{n}\}
uma partição de Q em subretângulos, e denote por \|P\| o maior diâmetro de todos os Q_{i}. Definimos a função característica de R por
\chi_{R}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\in R,\\\\ 0,&(x,y)\notin R. \end{cases}
Passo 3
Em cada subretângulo Q_{i} escolhemos um ponto de amostragem (x_{i}^*,y_{i}^*). A soma de Riemann associada a P e a \chi_{R} é