(E) Seja R uma região limitada do plano
\mathrm{O} x y com fronteira de conteúdo nulo. Defina área de R usando as somas de Riemann.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a área de uma região limitada R\subset\mathbb R^2 cuja fronteira tem conteúdo nulo, usando somas de Riemann. Vamos usar o conceito de integral dupla da função característica de R sobre um retângulo que o contenha.

Passo 2

Escolhemos um retângulo Q que contenha R. Seja
P=\{Q_{1},Q_{2},\dots,Q_{n}\}
uma partição de Q em subretângulos, e denote por \|P\| o maior diâmetro de todos os Q_{i}. Definimos a função característica de R por
\chi_{R}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\in R,\\\\ 0,&(x,y)\notin R. \end{cases}

Passo 3

Em cada subretângulo Q_{i} escolhemos um ponto de amostragem (x_{i}^*,y_{i}^*). A soma de Riemann associada a P e a \chi_{R} é
S(P)=\sum_{i=1}^{n}\chi_{R}(x_{i}^*,y_{i}^*)\,\Delta A_{i},
onde \Delta A_{i} é a área de Q_{i}. Essa soma mede, aproximadamente, a área de R dentro de Q.

Passo 4

Como a fronteira de R tem conteúdo nulo, as somas superiores e inferiores de \chi_{R} convergem para o mesmo limite quando \|P\|\to0. Logo, o limite
\lim_{\|P\|\to0}S(P)
existe e independe da escolha dos pontos de amostragem.

Resposta

A área de R é definida por
\text{área}(R) =\lim_{\|P\|\to0}\sum_{i=1}^{n}\chi_{R}(x_{i}^*,y_{i}^*)\,\Delta A_{i} =\iint_{R}1\,dA.á

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