Resolva integral0^infty x(x^2+1)^-2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^infty xl(x^2+1r)^-2,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais por substituição e avaliação de limites em integrais impróprias.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica em integrais com x^2+1:
u = x^2 + 1, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=0, u=1. Quando xtoinfty, utoinfty.

Passo 3

Em termos de u, o integral fica
integral0^infty xl(x^2+1r)^-2,dx = integralu=1^u=infty 12,u^-2,du = 12integral1^infty u^-2,du

Passo 4

Calculamos
integral u^-2,du = integral u^-2,du = -,u^-1 + C,
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12integral1^infty u^-2,du = 12l[-u^-1r]1^infty = 12l(0 - (-1)r) = 12

Resposta

12

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