Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty ln nn^2 converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que diz que se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x>= N e integralN^infty f(x),dx converge, então a série sumn=N^infty f(n) também converge.

Passo 2

Definimos a função f(x)=ln xx^2. Observamos que para x>=1 temos f(x)>0 e, a partir de x=e^1/2, ela é decrescente, pois sua derivada é negativa: f'(x)=1-2ln xx^3<0 quando ln x>tfrac12. Assim podemos aplicar o teste da integral a partir de N=2.

Passo 3

Vamos avaliar a integral imprópria integral2^infty ln xx^2,dx usando integração por partes. Escolhemos
u=ln x, dv= x^-2,dx
Assim
du=1x,dx, v=-1x

Passo 4

Logo
integral ln xx^2,dx = u,v - integral v,du = -ln xx + integral 1x^2,dx
E sabemos que
integral 1x^2,dx = -1x + C
Portanto a primitiva é
integral ln xx^2,dx = -ln xx - 1x + C

Passo 5

Agora avaliamos o limite da integral imprópria:
integral2^infty ln xx^2,dx = limbtoinfty l[-ln xx - 1xr]2^b

Passo 6

Como limbtoinfty (ln bb + 1b)=0, temos
integral2^infty ln xx^2,dx = 0 - l(-ln 22 - 12r) = ln 2 +12,

Passo 7

que é finito. Pelo teste da integral, a série sumn=2^infty ln nn^2 converge. Como excluir o primeiro termo n=1 não afeta a convergência, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn^2 é convergente pelo teste da integral.

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