Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que diz que se
é positiva, contínua e decrescente para
e
converge, então a série
também converge.
Passo 2
Definimos a função
. Observamos que para
temos
e, a partir de
, ela é decrescente, pois sua derivada é negativa:
quando
. Assim podemos aplicar o teste da integral a partir de
.
Passo 3
Vamos avaliar a integral imprópria
usando integração por partes. Escolhemos
Assim
Passo 4
Logo
E sabemos que
Portanto a primitiva é
Passo 5
Agora avaliamos o limite da integral imprópria:
Passo 6
Como
, temos
Passo 7
que é finito. Pelo teste da integral, a série
converge. Como excluir o primeiro termo
não afeta a convergência, concluímos que a série original converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste da integral.