Seja
inteiros positivos tais que
é invertível módulo
e seja
um inverso para
.
(a) Mostre que
é invertível módulo
;
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá dois inteiros positivos
e
tais que
tem inverso módulo
. Chamamos esse inverso de
, ou seja,
O objetivo é mostrar que então
também tem inverso módulo
.
Passo 2
Se existe
com
então
é múltiplo de
. Logo
divide
, o que implica
Isto garante que inversos mútuos possam existir.
Passo 3
Da congruência
existe um inteiro
tal que
Reescrevendo,
Passo 4
Tomando essa última identidade módulo
, o termo
some, sobrando
Isso mostra que
é inverso de
módulo
. Portanto
é invertível módulo
.