Seja A, B inteiros positivos tais que A é invertível módulo B e seja A0 um inverso para A.
(a) Mostre que B é invertível módulo A;

Passo 1

O enunciado dá dois inteiros positivos A e B tais que A tem inverso módulo B. Chamamos esse inverso de A0, ou seja,
A,A0equiv1pmodB
O objetivo é mostrar que então B também tem inverso módulo A.

Passo 2

Se existe A0 com
A,A0equiv1pmodB,
então A,A0-1 é múltiplo de B. Logo gcd(A,B) divide 1, o que implica
gcd(A,B)=1
Isto garante que inversos mútuos possam existir.

Passo 3

Da congruência
A,A0equiv1pmodB
existe um inteiro k tal que
A,A0=1+k,B
Reescrevendo,
A,( -k )+B,A0=1

Passo 4

Tomando essa última identidade módulo A, o termo A(-k) some, sobrando
B,A0equiv1pmodA
Isso mostra que A0 é inverso de B módulo A. Portanto B é invertível módulo A.

Resposta

B^-1pmodA=A0.

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