Resolva:
c2 x+y-3 z=5 3 x-2 y+2 z=5 5 x-3 y-z=16

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de três equações com três incógnitas (x, y e z). O objetivo aqui é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que basicamente consiste em eliminar uma variável de cada vez para simplificar o sistema até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
2x + y - 3z = 5 (Equação 1) 3x - 2y + 2z = 5 (Equação 2) 5x - 3y - z = 16 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo inicial é eliminar uma das variáveis. Vamos começar eliminando o y entre a Equação 1 e a Equação 2.

Passo 3

Para eliminar o y, precisamos que os coeficientes de y nas duas equações sejam opostos. Olhando para a Equação 1 e a Equação 2:
  • Equação 1 tem y com coeficiente 1.
  • Equação 2 tem y com coeficiente -2.
Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para que o coeficiente de y seja 2, que é o oposto de -2 da Equação 2.
Multiplicando a Equação 1 por 2:
2 times (2x + y - 3z) = 2 times 5 4x + 2y - 6z = 10 (Equação 4) çã
Agora, temos:
4x + 2y - 6z = 10 (Equação 4) 3x - 2y + 2z = 5 (Equação 2) çãçã

Passo 4

Agora, vamos somar a Equação 4 com a Equação 2 para eliminar o y:
(4x + 2y - 6z) + (3x - 2y + 2z) = 10 + 5 7x - 4z = 15 (Equação 5) çã
Agora, temos uma nova equação (Equação 5) que relaciona x e z.

Passo 5

Vamos agora eliminar o y entre a Equação 1 e a Equação 3. Para isso, observamos os coeficientes de y:
  • Equação 1 tem y com coeficiente 1.
  • Equação 3 tem y com coeficiente -3.
Podemos multiplicar a Equação 1 por 3 para que o coeficiente de y seja 3, o oposto de -3 da Equação 3.
Multiplicando a Equação 1 por 3:
3 times (2x + y - 3z) = 3 times 5 6x + 3y - 9z = 15 (Equação 6) çã
Agora, temos:
6x + 3y - 9z = 15 (Equação 6) 5x - 3y - z = 16 (Equação 3) çãçã

Passo 6

Vamos somar a Equação 6 com a Equação 3 para eliminar o y:
(6x + 3y - 9z) + (5x - 3y - z) = 15 + 16 11x - 10z = 31 (Equação 7) çã
Agora, temos outra equação (Equação 7) que relaciona x e z.

Passo 7

Agora, temos duas equações com duas variáveis:
7x - 4z = 15 (Equação 5) 11x - 10z = 31 (Equação 7) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e z. Podemos usar o método da subtração para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 5 por 10 e a Equação 7 por 4 para igualar os coeficientes de z:
Multiplicando a Equação 5 por 10:
10 times (7x - 4z) = 10 times 15 70x - 40z = 150 (Equação 8) çã
Multiplicando a Equação 7 por 4:
4 times (11x - 10z) = 4 times 31 44x - 40z = 124 (Equação 9) çã
Agora, temos:
70x - 40z = 150 (Equação 8) 44x - 40z = 124 (Equação 9) çãçã

Passo 8

Vamos subtrair a Equação 9 da Equação 8 para eliminar z:
(70x - 40z) - (44x - 40z) = 150 - 124 70x - 44x - 40z + 40z = 26 26x = 26 x = 1
Agora que encontramos x = 1, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar z. Vamos usar a Equação 5:
7x - 4z = 15 7(1) - 4z = 15 7 - 4z = 15 -4z = 15 - 7 -4z = 8 z = -2

Passo 9

Agora que temos x = 1 e z = -2, vamos substituir esses valores em uma das equações originais para encontrar y. Vamos usar a Equação 1:
2x + y - 3z = 5 2(1) + y - 3(-2) = 5 2 + y + 6 = 5 y + 8 = 5 y = 5 - 8 y = -3

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = -3, z = -2

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