Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
coincide com sua série de Taylor (Maclaurin) de ordem infinita, usando a forma do resto de Lagrange. Vamos usar o conteúdo de expansão em série de Taylor e a estimativa do termo de resto.
Passo 2
Para começar, escrevemos a fórmula de Taylor de
em torno de zero, até ordem
, mais o resto:
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em zero, e
é o resto de Lagrange de ordem
.
Passo 3
Observando as derivadas de
em zero: elas se repetem no ciclo
. Dessas, só as derivadas de ordem ímpar são não nulas em zero, dando
e
. Logo a soma fica exatamente
Passo 4
Escrevemos agora o resto de Lagrange de ordem
:
para algum
entre
e
. Como as derivadas de
têm valor absoluto no máximo 1, temos
Passo 5
Por fim, como o fator
cresce muito mais rápido que
, a estimativa
mostra que
. Assim, ao tomar
, a série de Taylor converge para
, provando a igualdade desejada.