Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
sen x=lim N infty sumn=0^N(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!, x in R

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função sin x coincide com sua série de Taylor (Maclaurin) de ordem infinita, usando a forma do resto de Lagrange. Vamos usar o conteúdo de expansão em série de Taylor e a estimativa do termo de resto.

Passo 2

Para começar, escrevemos a fórmula de Taylor de sin x em torno de zero, até ordem 2N+1, mais o resto:
sin x = sumn=0^N sin^(n)(0)n!,x^n + R2N+2(x)
Aqui sin^(n)(0) é a n-ésima derivada de sin x avaliada em zero, e R2N+2(x) é o resto de Lagrange de ordem 2N+2.

Passo 3

Observando as derivadas de sin x em zero: elas se repetem no ciclo sin,cos,-sin,-cos. Dessas, só as derivadas de ordem ímpar são não nulas em zero, dando
sin^(2n+1)(0)=(-1)^n,
e sin^(2n)(0)=0. Logo a soma fica exatamente
sumn=0^N(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Escrevemos agora o resto de Lagrange de ordem 2N+2:
R2N+2(x)=sin^(2N+2)(xi)(2N+2)!,x^2N+2,
para algum xi entre 0 e x. Como as derivadas de sin têm valor absoluto no máximo 1, temos
|R2N+2(x)|<=|x|^2N+2(2N+2)!

Passo 5

Por fim, como o fator (2N+2)! cresce muito mais rápido que |x|^2N+2|, a estimativa
limNtoinfty|x|^2N+2(2N+2)!=0
mostra que R2N+2(x)to0. Assim, ao tomar Ntoinfty, a série de Taylor converge para sin x, provando a igualdade desejada.

Resposta

sin x = limNtoinftysumn=0^N(-1)^nx^2n+1(2n+1)!, xinR

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