Sejam
\begin{gathered} H=\{(a-3 b, b-a, a, b): a, b \in \mathbb{R}\}, \\\ W_{1}=\{(3 a+b, 4 b, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\}, \\\ W_{2}=\{(3 a+b, 4, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\} \end{gathered}
e
W_{3}=\{(3 a+b, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\}
(a) Determine o conjunto S de vetores que geram H ;
(b) Conclua que H é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4};
(c) Determine o conjunto R de vetores que geram W_{1};
(d) Conclua que W_{1} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3};
(e) O conjunto W_{2} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ? Justifique a sua resposta.
(f) Determine o conjunto U de vetores que geram W_{3};
(g) Conclua que W_{3} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2};

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos definidos por parâmetros a,b\in\mathbb{R} e pede várias coisas. Vou listar explicitamente o que é pedido e as informações fornecidas:
  • Objetivos (perguntas):
    (a) Determinar o conjunto S de vetores que geram H.
    (b) Concluir se H é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
    (c) Determinar o conjunto R de vetores que geram W_{1}.
    (d) Concluir se W_{1} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
    (e) Verificar se W_{2} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} e justificar.
    (f) Determinar o conjunto U de vetores que geram W_{3}.
    (g) Concluir se W_{3} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
  • Informações fornecidas (os conjuntos):
\begin{gathered} H=\{(a-3 b,\, b-a,\, a,\, b): a, b \in \mathbb{R}\},\\\ W_{1}=\{(3 a+b,\, 4 b,\, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\},\\\ W_{2}=\{(3 a+b,\, 4,\, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\},\\\ W_{3}=\{(3 a+b,\, a-5 b): a, b \in \mathbb{R}\}. \end{gathered}
Observação: os vetores são escritos por coordenadas; em cada caso a e b são escalares reais que parametram o conjunto.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática rápida): um conjunto de vetores “gera” outro conjunto se todo vetor desse conjunto pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores. Uma combinação linear de vetores v e w tem a forma \alpha v+\beta w com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Quando conseguimos escrever a fórmula paramétrica do conjunto como \alpha v+\beta w, então o conjunto é \operatorname{span}\{v,w\}.
Agora aplico isso a H. Tome um vetor genérico de H:
(a-3b,\, b-a,\, a,\, b).
Vou escrever esse vetor como combinação linear de dois vetores escolhendo a=1,b=0 e a=0,b=1 para extrair os geradores canônicos.
  • Se a=1,b=0 obtém-se o vetor
(1-0,\, 0-1,\, 1,\, 0) = (1,\,-1,\,1,\,0).
  • Se a=0,b=1 obtém-se o vetor
(0-3,\,1-0,\,0,\,1)=(-3,\,1,\,0,\,1).
Qualquer a,b reconstituem-se como combinação linear desses dois vetores:
a(1,\,-1,\,1,\,0)+b(-3,\,1,\,0,\,1)=(a-3b,\,b-a,\,a,\,b).
Portanto escrevemos H como span desses dois vetores.

Passo 3

Conclusão sobre (a): o conjunto S de vetores que gera H é
S=\{(1,\,-1,\,1,\,0),\;(-3,\,1,\,0,\,1)\}.
Explicação da conclusão sobre (b) (porque H é subespaço): um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n} é qualquer conjunto que (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Uma maneira prática: qualquer conjunto que é um \operatorname{span} (ou seja, conjunto de todas as combinações lineares de alguns vetores) é automaticamente subespaço, pois combinação linear de combinações lineares é combinação linear — isto garante fechamento por soma e escalares — e tomando todos os coeficientes zero temos o vetor zero. Como H=\operatorname{span}S, segue que H é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Passo 4

Agora W_{1}. Escrevo o vetor genérico
(3a+b,\,4b,\,a-5b)
como combinação linear de vetores obtidos escolhendo a=1,b=0 e a=0,b=1:
  • Para a=1,b=0 temos
(3\cdot1+0,\,4\cdot0,\,1-0)=(3,\,0,\,1).
  • Para a=0,b=1 temos
(3\cdot0+1,\,4\cdot1,\,0-5\cdot1)=(1,\,4,\,-5).
Qualquer a,b
a(3,\,0,\,1)+b(1,\,4,\,-5)=(3a+b,\,4b,\,a-5b).

Passo 5

Conclusão sobre (c): o conjunto R de vetores que gera W_{1} é
R=\{(3,\,0,\,1),\;(1,\,4,\,-5)\}.
Conclusão sobre (d): como W_{1}=\operatorname{span}R, é um subespaço de \mathbb{R}^{3} pelos mesmos motivos do passo anterior (span implica fechamento por soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero).

Passo 6

Agora W_{2}. O vetor genérico é
(3a+b,\,4,\,a-5b).
Note um aspecto importante: a segunda coordenada é constante e igual a 4 para todo a,b. Para verificar se W_{2} é subespaço, a primeira verificação rápida é ver se o vetor zero (0,0,0) pertence a W_{2}. Se não pertencer, W_{2} não pode ser subespaço (pois todo subespaço precisa conter o vetor zero).
Perguntamos: existe a,b tais que a segunda coordenada 4 seja igual a 0? Não: 4\neq 0. Logo (0,0,0)\notin W_{2}. Portanto W_{2} não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Outra forma de ver a falha: se v\in W_{2}, então 2v teria segunda coordenada 8, que não está na forma exigida (sempre 4), então W_{2} não é fechado por multiplicação escalar. Mas a prova pelo vetor zero já é suficiente e simples.

Passo 7

Agora W_{3}. Vetor genérico:
(3a+b,\,a-5b).
De novo escolhemos a=1,b=0 e a=0,b=1:
  • Para a=1,b=0:
(3,\,1).
  • Para a=0,b=1:
(1,\,-5).
Qualquer a,b satisfaz
a(3,\,1)+b(1,\,-5)=(3a+b,\,a-5b).

Passo 8

Conclusão sobre (f): o conjunto U de vetores que gera W_{3} é
U=\{(3,\,1),\;(1,\,-5)\}.
Conclusão sobre (g): como W_{3}=\operatorname{span}U, segue que W_{3} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

(a) S=\{(1,\,-1,\,1,\,0),\;(-3,\,1,\,0,\,1)\}
(b) H é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
(c) R=\{(3,\,0,\,1),\;(1,\,4,\,-5)\}
(d) W_{1} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
(e) Não; W_{2} não é subespaço de \mathbb{R}^{3} (o vetor zero não pertence a W_{2} porque a segunda coordenada é sempre 4).
(f) U=\{(3,\,1),\;(1,\,-5)\}
(g) W_{3} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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