Sejam
e
(a) Determine o conjunto
de vetores que geram H ;
(b) Conclua que
é subespaço vetorial de
;
(c) Determine o conjunto
de vetores que geram
;
(d) Conclua que
é subespaço vetorial de
;
(e) O conjunto
é subespaço vetorial de
? Justifique a sua resposta.
(f) Determine o conjunto
de vetores que geram
;
(g) Conclua que
é subespaço vetorial de
;
(b) Conclua que
(c) Determine o conjunto
(d) Conclua que
(e) O conjunto
(f) Determine o conjunto
(g) Conclua que
Passo 1
O enunciado dá quatro conjuntos definidos por parâmetros
e pede várias coisas. Vou listar explicitamente o que é pedido e as informações fornecidas:
-
Objetivos (perguntas):
(a) Determinar o conjuntode vetores que geram .
(b) Concluir seé subespaço vetorial de .
(c) Determinar o conjuntode vetores que geram .
(d) Concluir seé subespaço vetorial de .
(e) Verificar seé subespaço vetorial de e justificar.
(f) Determinar o conjuntode vetores que geram .
(g) Concluir seé subespaço vetorial de . -
Informações fornecidas (os conjuntos):
Observação: os vetores são escritos por coordenadas; em cada caso
e
são escalares reais que parametram o conjunto.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática rápida): um conjunto de vetores “gera” outro conjunto se todo vetor desse conjunto pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores. Uma combinação linear de vetores
e
tem a forma
com
. Quando conseguimos escrever a fórmula paramétrica do conjunto como
, então o conjunto é
.
Agora aplico isso a
. Tome um vetor genérico de
:
Vou escrever esse vetor como combinação linear de dois vetores escolhendo
e
para extrair os geradores canônicos.
- Se
obtém-se o vetor
- Se
obtém-se o vetor
Qualquer
reconstituem-se como combinação linear desses dois vetores:
Portanto escrevemos
como span desses dois vetores.
Passo 3
Conclusão sobre (a): o conjunto
de vetores que gera
é
Explicação da conclusão sobre (b) (porque
é subespaço): um subespaço vetorial de
é qualquer conjunto que (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Uma maneira prática: qualquer conjunto que é um
(ou seja, conjunto de todas as combinações lineares de alguns vetores) é automaticamente subespaço, pois combinação linear de combinações lineares é combinação linear — isto garante fechamento por soma e escalares — e tomando todos os coeficientes zero temos o vetor zero. Como
, segue que
é subespaço de
.
Passo 4
Agora
. Escrevo o vetor genérico
como combinação linear de vetores obtidos escolhendo
e
:
- Para
temos
- Para
temos
Qualquer
dá
Passo 5
Conclusão sobre (c): o conjunto
de vetores que gera
é
Conclusão sobre (d): como
, é um subespaço de
pelos mesmos motivos do passo anterior (span implica fechamento por soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero).
Passo 6
Agora
. O vetor genérico é
Note um aspecto importante: a segunda coordenada é constante e igual a
para todo
. Para verificar se
é subespaço, a primeira verificação rápida é ver se o vetor zero
pertence a
. Se não pertencer,
não pode ser subespaço (pois todo subespaço precisa conter o vetor zero).
Perguntamos: existe
tais que a segunda coordenada
seja igual a
? Não:
. Logo
. Portanto
não é subespaço de
.
Outra forma de ver a falha: se
, então
teria segunda coordenada
, que não está na forma exigida (sempre
), então
não é fechado por multiplicação escalar. Mas a prova pelo vetor zero já é suficiente e simples.
Passo 7
Agora
. Vetor genérico:
De novo escolhemos
e
:
- Para
:
- Para
:
Qualquer
satisfaz
Passo 8
Conclusão sobre (f): o conjunto
de vetores que gera
é
Conclusão sobre (g): como
, segue que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
(a)
(b) é subespaço vetorial de
.
(c)
(d) é subespaço vetorial de
.
(e) Não; não é subespaço de
(o vetor zero não pertence a
porque a segunda coordenada é sempre
).
(f)
(g) é subespaço vetorial de
.
(b)
(c)
(d)
(e) Não;
(f)
(g)