Mostre que vale a relação
desde que satisfeitas as condições de existência.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a identidade entre logaritmos
desde que os logaritmos existam. Aqui vamos usar o conceito de mudança de base de logaritmos e as propriedades do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, anotamos as condições de existência dos logaritmos:
,
,
e
.
Isso garante que e
estejam bem definidos.
Isso garante que
Passo 3
Pela fórmula de mudança de base, para qualquer base positiva diferente de 1, temos
onde
é o logaritmo natural.
Passo 4
Agora usamos as propriedades do logaritmo natural:
Passo 5
Substituindo essas expressões na mudança de base, obtemos