Mostre que vale a relação
log 1b(1 / a)=log b a
desde que satisfeitas as condições de existência.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a identidade entre logaritmos
log1/bl(1/ar)=logba
desde que os logaritmos existam. Aqui vamos usar o conceito de mudança de base de logaritmos e as propriedades do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, anotamos as condições de existência dos logaritmos:
;a>0, aneq1, b>0 e bneq1.
Isso garante que log1/b(1/a) e logba estejam bem definidos.

Passo 3

Pela fórmula de mudança de base, para qualquer base positiva diferente de 1, temos
log1/bl(1/ar) =lnl(1/ar)lnl(1/br),
onde ln é o logaritmo natural.

Passo 4

Agora usamos as propriedades do logaritmo natural:
lnl(1/ar)=-ln a, lnl(1/br)=-ln b

Passo 5

Substituindo essas expressões na mudança de base, obtemos
log1/bl(1/ar) =-ln a-ln b =ln aln b =logba

Resposta

log1/bl(1/ar)=logba

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