Problema 3.55. Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
(a) 3 x+5 y=223
(b) 5 x+15 y=33
(c) 2 x+16 y=2354
(d) 3 x+12 y=312
(e) 23 x+150 y=12354
f) 7 x+14 y=77

Passo 1

O enunciado lista seis equações diofantinas lineares da forma a x + b y = c e pede para identificar quais delas têm pelo menos uma solução inteira. O conteúdo necessário é a teoria de equações diofantinas de primeiro grau: existe solução inteira se, e somente se, gcd(a,b)mid c.

Passo 2

A condição fundamental para que
a x + b y = c
tenha solução inteira é
gcd(a,b) mid c

Passo 3

Aplicamos essa condição a cada equação: para (a) gcd(3,5)=1 e 1mid223, logo há solução; para (b) gcd(5,15)=5 mas 5nmid33, logo não há solução; para (c) gcd(2,16)=2 e 2mid2354, há solução; para (d) gcd(3,12)=3 e 3mid312, há solução; para (e) gcd(23,150)=1 e 1mid12354, há solução; para (f) gcd(7,14)=7 e 7mid77, há solução.

Resposta

As equações que possuem pelo menos uma solução inteira são: (a), (c), (d), (e) e (f).

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