Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer. Prove que (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) é LD .
\vec{a}=\vec{u}+2 \vec{v}-\vec{w}, \vec{b}=2 \vec{u}-\vec{v}+\vec{w} e \vec{c}=7 \vec{v}-3 \vec{w}

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).
Temos vetores quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} e definimos
\vec{a}=\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w},\qquad \vec{b}=2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w},\qquad \vec{c}=7\vec{v}-3\vec{w}.
O enunciado pede: provar que (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) é LD (linearmente dependente).
Lista das informações relevantes: as fórmulas acima que expressam \vec{a},\vec{b},\vec{c} em função de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Nada mais será assumido agora; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

O que significa LD e como testar (aula rapidinha).
Definição prática: três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente dependentes (LD) se existem escalares, nem todos nulos, \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}.
Se a única solução do sistema acima for \alpha=\beta=\gamma=0, dizemos que os vetores são linearmente independentes (LI).
Estratégia para testar: montar a combinação linear acima, substituir \vec{a},\vec{b},\vec{c} pelas expressões dadas e agrupar os coeficientes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Se obtivermos um sistema linear nas incógnitas \alpha,\beta,\gamma cuja única solução é trivial, então os vetores são LI (ou seja, não são LD).

Passo 3

Montagem da combinação linear e substituição.
Considere
\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}.
Substituindo as expressões dadas,
\alpha(\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w})+\beta(2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})+\gamma(7\vec{v}-3\vec{w})=\vec{0}.
Agora agrupamos os termos em \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
(\alpha+2\beta)\vec{u}+(2\alpha-\beta+7\gamma)\vec{v}+(-\alpha+\beta-3\gamma)\vec{w}=\vec{0}.

Passo 4

Passo crucial: transformar em sistema de equações e resolver (explicando cada conta).
Como a igualdade de vetores significa igualdade dos coeficientes na combinação linear (isso vale em particular se \vec{u},\vec{v},\vec{w}\) forem linearmente independentes — e como o enunciado diz "vetores quaisquer", se existir uma combinação não-trivial que zere para todo conjunto de \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) isso aparecerá aqui; testar o caso geral com \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) independentes é suficiente para decidir), obtemos o sistema de coeficientes \[\begin{cases} \alpha+2\beta=0,\\[4pt] 2\alpha-\beta+7\gamma=0,\\[4pt] -\alpha+\beta-3\gamma=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo.
Da primeira equação vem
\alpha=-2\beta.
Substituindo \alpha=-2\beta\] na terceira equação: \[-(-2\beta)+\beta-3\gamma=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta+\beta-3\gamma=0 \quad\Longrightarrow\quad 3\beta-3\gamma=0,\] logo \[\gamma=\beta.\] Agora substituímos \(\alpha=-2\beta e \gamma=\beta na segunda equação:
2(-2\beta)-\beta+7(\beta)=0 \quad\Longrightarrow\quad -4\beta-\beta+7\beta=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta=0.
Daí \beta=0. Usando \beta=0 obtemos \alpha=-2\beta=0 e \gamma=\beta=0. Portanto a única solução do sistema é
\alpha=\beta=\gamma=0.]

Passo 5

Conclusão lógica e comentário final (motivacional).
Encontramos que a única combinação linear que zera \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0} é a trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Isso significa que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes. Ou seja, a afirmação do enunciado (que seriam LD) é falsa — não existe combinação não-trivial que anule \vec{a},\vec{b},\vec{c} para vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} genéricos.
Você conseguiu! Mesmo que o enunciado pedisse LD, o trabalho de montar a combinação e resolver mostrou a verdade: LI. Isso é comum em provas — às vezes a tarefa é verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa; aqui ela é falsa.

Resposta

Os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes; portanto não são LD.

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