Sejam
e
vetores quaisquer. Prove que
é LD .
e
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).
Temos vetores quaisquer e definimos
Temos vetores quaisquer
O enunciado pede: provar que
é LD (linearmente dependente).
Lista das informações relevantes: as fórmulas acima que expressam em função de
.
Nada mais será assumido agora; a resolução começa no próximo passo.
Lista das informações relevantes: as fórmulas acima que expressam
Nada mais será assumido agora; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
O que significa LD e como testar (aula rapidinha).
Definição prática: três vetores são linearmente dependentes (LD) se existem escalares, nem todos nulos,
tais que
Definição prática: três vetores
Se a única solução do sistema acima for
, dizemos que os vetores são linearmente independentes (LI).
Estratégia para testar: montar a combinação linear acima, substituir pelas expressões dadas e agrupar os coeficientes de
. Se obtivermos um sistema linear nas incógnitas
cuja única solução é trivial, então os vetores são LI (ou seja, não são LD).
Estratégia para testar: montar a combinação linear acima, substituir
Passo 3
Montagem da combinação linear e substituição.
Considere
Considere
Substituindo as expressões dadas,
Agora agrupamos os termos em
:
Passo 4
Passo crucial: transformar em sistema de equações e resolver (explicando cada conta).
Como a igualdade de vetores significa igualdade dos coeficientes na combinação linear (isso vale em particular se
Vamos resolver passo a passo.
Da primeira equação vem
Substituindo
e
na segunda equação:
Daí
. Usando
obtemos
e
. Portanto a única solução do sistema é
Passo 5
Conclusão lógica e comentário final (motivacional).
Encontramos que a única combinação linear que zera é a trivial
. Isso significa que
são linearmente independentes. Ou seja, a afirmação do enunciado (que seriam LD) é falsa — não existe combinação não-trivial que anule
para vetores
genéricos.
Você conseguiu! Mesmo que o enunciado pedisse LD, o trabalho de montar a combinação e resolver mostrou a verdade: LI. Isso é comum em provas — às vezes a tarefa é verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa; aqui ela é falsa.
Encontramos que a única combinação linear que zera
Você conseguiu! Mesmo que o enunciado pedisse LD, o trabalho de montar a combinação e resolver mostrou a verdade: LI. Isso é comum em provas — às vezes a tarefa é verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa; aqui ela é falsa.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes; portanto não são LD.