Mostre que a variação de velocidade de um foguete obedece a expressão dada pela eq. (07). Onde
e
são as velocidade e massa no instante inicial,
e
são as velocidade e massa num instante qualquer e
é a velocidade de exaustão (velocidade com a qual o combustível é ejetado). Determine, também, a aceleração do foguete, para as mesmas condições.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a variação de velocidade de um foguete segue a equação dada:
Além disso, vamos determinar a aceleração do foguete nas mesmas condições. Para isso, vamos usar conceitos de Dinâmica de Corpos em Movimento com Massa Variável, especificamente a Equação de Tsiolkovsky. Vamos precisar entender como a massa do foguete muda com o tempo devido à exaustão de combustível e como isso afeta sua velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração:
No caso de um foguete, a massa não é constante porque ele está queimando combustível. Então, precisamos adaptar essa lei para sistemas com massa variável.
Passo 3
Para foguetes, consideramos que a força resultante é devido à exaustão do combustível. A velocidade de exaustão
é a velocidade com que o combustível é ejetado para trás. A taxa de variação da massa do foguete é negativa porque a massa está diminuindo:
A força propulsora que age sobre o foguete é então:
Passo 4
Aplicando a Segunda Lei de Newton para o foguete:
Podemos reescrever isso como:
Mas queremos relacionar a variação de velocidade com a variação da massa, então precisamos integrar essa equação.
Passo 5
Vamos considerar a aceleração
. Substituindo na equação, temos:
Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites da integração para a velocidade vão de
(velocidade inicial) até
, e para a massa vão de
(massa inicial) até
:
Isso resulta em:
E assim mostramos a expressão desejada!
Passo 7
Agora, vamos determinar a aceleração do foguete. Voltando à equação da aceleração:
Sabemos que
é a taxa de variação da massa, que pode ser representada como
(já que a massa está diminuindo). Então:
Isso nos dá a expressão para a aceleração do foguete em função da massa e da taxa de exaustão do combustível.
Resposta
A variação de velocidade do foguete é dada por:
E a aceleração do foguete, para as mesmas condições, é: