Mostre que a variação de velocidade de um foguete obedece a expressão dada pela eq. (07). Onde v0=v(0) e m0=m(0) são as velocidade e massa no instante inicial, v e m são as velocidade e massa num instante qualquer e ve x é a velocidade de exaustão (velocidade com a qual o combustível é ejetado). Determine, também, a aceleração do foguete, para as mesmas condições.
v-v0=ve x ln m0m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a variação de velocidade de um foguete segue a equação dada:
v - v0 = ve x ln m0m
Além disso, vamos determinar a aceleração do foguete nas mesmas condições. Para isso, vamos usar conceitos de Dinâmica de Corpos em Movimento com Massa Variável, especificamente a Equação de Tsiolkovsky. Vamos precisar entender como a massa do foguete muda com o tempo devido à exaustão de combustível e como isso afeta sua velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração:
F = m cdot a
No caso de um foguete, a massa não é constante porque ele está queimando combustível. Então, precisamos adaptar essa lei para sistemas com massa variável.

Passo 3

Para foguetes, consideramos que a força resultante é devido à exaustão do combustível. A velocidade de exaustão ve x é a velocidade com que o combustível é ejetado para trás. A taxa de variação da massa do foguete é negativa porque a massa está diminuindo:
dmdt < 0
A força propulsora que age sobre o foguete é então:
F = ve x cdot dmdt

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei de Newton para o foguete:
m cdot a = ve x cdot dmdt
Podemos reescrever isso como:
a = ve x cdot 1m cdot dmdt
Mas queremos relacionar a variação de velocidade com a variação da massa, então precisamos integrar essa equação.

Passo 5

Vamos considerar a aceleração a = dvdt. Substituindo na equação, temos:
dvdt = ve x cdot 1m cdot dmdt
Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis v e m:
dv = ve x cdot 1m cdot dm

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites da integração para a velocidade vão de v0 (velocidade inicial) até v, e para a massa vão de m0 (massa inicial) até m:
integralv0^v dv = ve x integralm0^m 1m dm
Isso resulta em:
v - v0 = ve x ln m0m
E assim mostramos a expressão desejada!

Passo 7

Agora, vamos determinar a aceleração do foguete. Voltando à equação da aceleração:
a = ve x cdot 1m cdot dmdt
Sabemos que dmdt é a taxa de variação da massa, que pode ser representada como -dotm (já que a massa está diminuindo). Então:
a = -ve x cdot dotmm
Isso nos dá a expressão para a aceleração do foguete em função da massa e da taxa de exaustão do combustível.

Resposta

A variação de velocidade do foguete é dada por:
v - v0 = ve x ln m0m
E a aceleração do foguete, para as mesmas condições, é:
a = -ve x cdot dotmm

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