a) (0.5 ponto) Use a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético a uma distancia s de um longo fio reto pelo qual passa uma corrente estacionária i.
b) ( 1,0 ponto) Use o resultado do item (a) para encontrar o potencial vetorial a uma distâncis so de um fio reto pelo qual passa uma corrente i.
c) (0,5 ponto) Encontre o potencial magnético dentro do fio, se ele tem raio R e a corrente está uniformemente distribuída.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) usar a Lei de Ampère para achar o campo magnético \mathbf{B}(s) a uma distância s de um fio reto infinito percorrido por corrente estacionária i.
– (b) usar o resultado de (a) para obter o potencial vetorial \mathbf{A}(s) no mesmo fio.
– (c) encontrar \mathbf{A}(s) no interior de um fio de raio R com corrente uniformemente distribuída.
Conteúdo: simetria cilíndrica, Lei de Ampère e relação \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.

Passo 2

Pela simetria, \mathbf{B} é tangencial (componente \hat\varphi) e a Lei de Ampère diz
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_{\varphi}(s)\,(2\pi s) = \mu_{0}\,i_{\rm int}
Fora do fio i_{\rm int}=i, então
B_{\varphi}(s) = \frac{\mu_{0}\,i}{2\pi s}\,.

Passo 3

Para achar \mathbf{A} usamos a simetria: \mathbf{A}=A_{z}(s)\,\hat z. Em coordenadas cilíndricas a componente \hat\varphi de \nabla\times\mathbf{A} é
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi} =\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r} =-\frac{dA_{z}}{ds}
como A_{r}=0. Para satisfazer \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} precisamos
B_{\varphi}(s)=-\frac{dA_{z}}{ds}\quad\Longrightarrow\quad A_{z}(s)=-\int B_{\varphi}(s)\,ds + C\,.

Passo 4

Na região externa ao fio substituímos
A_{z}(s)=-\int \frac{\mu_{0}i}{2\pi s}\,ds + C =-\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln s + C.
Como o potencial vetorial é definido a menos de constante de gauge, podemos escrever
\boxed{\mathbf{A}(s)=A_{z}(s)\,\hat z =\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{s}{s_{0}}\biggr)\,\hat z}
onde s_{0} é uma constante de referência (escolha de gauge).

Passo 5

No interior do fio de raio R a corrente interna até raio s\le R é
i_{\rm int}(s)=i\;\frac{s^{2}}{R^{2}},
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B_{\varphi}(s)=\frac{\mu_{0}\,i_{\rm int}(s)}{2\pi s} =\frac{\mu_{0}i}{2\pi R^{2}}\,s.
Integramos para A_{z}(s):
A_{z}(s)=-\int \frac{\mu_{0}i}{2\pi R^{2}}\,s\,ds + C' =-\frac{\mu_{0}i}{4\pi R^{2}}\,s^{2}+C'.
Impondo continuidade de A_{z} em s=R com o valor externo \tfrac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln(R/s_{0}), obtemos
C'=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{R}{s_{0}}\biggr) +\frac{\mu_{0}i}{4\pi}.
Portanto para s\le R
\boxed{\mathbf{A}(s) =\biggl[\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{R}{s_{0}}\bigr) +\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\Bigl(1-\frac{s^{2}}{R^{2}}\Bigr)\biggr]\,\hat z.}

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(s)=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi s}\,\hat\varphi.
(b) \displaystyle \mathbf{A}(s)=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{s}{s_{0}}\bigr)\,\hat z.
(c) \displaystyle \mathbf{A}(s)=\Bigl[\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{R}{s_{0}}\bigr) +\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\bigl(1-\tfrac{s^{2}}{R^{2}}\bigr)\Bigr]\,\hat z\quad(s\le R).

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