No triângulo ABC, seja BH a altura relativa ao lado AC do triângulo. Escreva BH como combinação linear de AB e AC.

Passo 1

O enunciado pede para escrever BH como combinação linear de AB e AC. O conteúdo que vamos usar é o de projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Passo 2

Escolhemos A como origem de coordenadas. Definimos
AB=b, AC=c,
então B tem vetor posição b e C tem vetor posição c.

Passo 3

Como H é o pé da perpendicular de B em AC, o vetor AH é a projeção de b sobre c, ou seja,
AH =projc(b) =b!cdot!cc!cdot!c;c

Passo 4

Agora escrevemos
BH =H-B =AH-AB =b!cdot!cc!cdot!c,c ;-; b
Voltando ao nome original dos vetores,
BH =-AB +AB!cdot!AC AC!cdot!AC ;AC

Resposta

BH =-AB +AB!cdot!AC AC!cdot!AC ;AC

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