1^underlinea Questão:(2.0) Determine a distancia da reta para o plano.
r:l y=-2 x-1 z=3 x+2 pi: 3 y+2 z-2024=0

Passo 1

O enunciado pede a distância da reta
r: y=-2x-1, z=3x+2
para o plano
pi:3y+2z-2024=0
O conteúdo é a distância entre uma reta paralela a um plano e esse plano, que se obtém calculando a distância de um ponto da reta ao plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta escolhendo x=t. Assim, um ponto genérico é
P(t)=(t,,-2t-1,,3t+2),
logo um vetor diretor é
v=(1,,-2,,3)
e um ponto particular (para t=0) é
P0=(0,,-1,,2)

Passo 3

O vetor normal ao plano pi vem dos coeficientes de y e z (com coeficiente de x igual a zero), portanto
n=(0,,3,,2)

Passo 4

Verificamos que
vcdotn=1cdot0+(-2)cdot3+3cdot2=-6+6=0,
logo a reta é paralela ao plano.

Passo 5

A fórmula da distância de P0 ao plano pi dado por 0x+3y+2z-2024=0 é
d=l|ncdot P0+(-2024)r||n|

Passo 6

Calculamos o numerador:
ncdot P0-2024 =0cdot0+3(-1)+2cdot2-2024 =-3+4-2024=-2023,
então l|-2023r|=2023.
O denominador é
|n|=raiz0^2+3^2+2^2=raiz13

Passo 7

Portanto a distância é
d=2023raiz13

Resposta

2023raiz13

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