12^circ) Mostre que o vetor v=(3,4) in R^2 pode ser escrito de infinitas maneiras como como combinação linear dos vetores v1=(1,0), v2=(0,1) e v3=(2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec v=(3,4) como combinação linear dos vetores
v1=(1,0), v2=(0,1) e v3=(2,-1), mostrando que há infinitas maneiras de fazer isso.
Conteúdo: combinação linear e dependência linear em R^2. Vamos definir escalares a,b,cinR tais que
a,v1 ;+; b,v2 ;+; c,v3 ;=;vec v

Passo 2

Escrevendo em coordenadas, queremos
a,(1,0);+;b,(0,1);+;c,(2,-1)) ;=;(3,4)
Isso gera o sistema
a + 2c = 3, b - c = 4
Como são duas equações para três incógnitas, teremos um grau de liberdade, logo soluções infinitas.

Passo 3

Escolhendo um parâmetro livre t=c, obtemos
a = 3 - 2t, b = 4 + t, c = t,
para qualquer tinR. Assim cada valor de t dá uma representação distinta.

Resposta

Para todo tinR,
vec v = (3,4) = (3-2t),v1 ;+;(4+t),v2 ;+;t,v3,
mostrando que existem infinitas combinações lineares que produzem vec v.

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