10^circ ) Verifique se os vetores a seguir são LD ou LI:
u=(1,1,1), v=(2,3,1), w=(3,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores u=(1,1,1), v=(2,3,1) e w=(3,1,2) em R^3 são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Vamos usar o critério do determinante: três vetores em R^3 são LI se, ao colocá-los como colunas de uma matriz 3times3, o determinante dessa matriz for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores dados:
A = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

Calculamos o determinante de A usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores. Vamos usar expansão pela primeira linha:
det(A) = 1cdotdet3 & 11 & 2 -2cdotdet1 & 11 & 2 +3cdotdet1 & 31 & 1

Passo 4

Calculando cada menor:
det3 & 11 & 2 =3cdot2 - 1cdot1 = 6 - 1 = 5,
det1 & 11 & 2 =1cdot2 - 1cdot1 = 2 - 1 = 1,
det1 & 31 & 1 =1cdot1 - 3cdot1 = 1 - 3 = -2
Substituindo em det(A):
det(A) = 1cdot5 - 2cdot1 + 3cdot(-2) = 5 - 2 - 6 = -3 neq 0

Passo 5

Como det(A)neq0, a única solução de
alpha,u + beta,v + gamma,w = 0
é alpha=beta=gamma=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes (LI).

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