Mostre que os vetores formam uma base e escreva o vetor em termos dela.
(c)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
u1 = (1,2,-1,-2), u2 = (2,3,0,-1), u3 = (1,2,1,4), u4 = (1,3,-1,0)
e o vetor
x = (7,14,-1,2)
O conteúdo é teste de independência linear e coordenadas de x em relação à base u1,u2,u3,u4. Para mostrar que formam base, basta ver que são linearmente independentes em R^4. Depois, escrevemos x como combinação linear deles, resolvendo o sistema c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 = x.

Passo 2

Para verificar independência, montamos a matriz cujas colunas são os ui e levamos a forma escalonada:
A = 1 & 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 3 -1 & 0 & 1 & -1 -2 & -1 & 4 & 0
1. Aplicando
R2 R2 - 2R1, R3 R3 + R1, R4 R4 + 2R1,
obtemos
1 & 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 2 & 0 0 & 3 & 6 & 2
2. Aplicando
R3 R3 + 2R2, R4 R4 + 3R2,
vem
1 & 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 6 & 5
3. Finalmente,
R4 R4 - 3R3
1 & 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & -1
Todos os pivôs na diagonal principal são não nulos, logo rank(A)=4. Como estamos em R^4, isso implica que u1,u2,u3,u4 é um conjunto de 4 vetores independentes e, portanto, base de R^4.

Passo 3

Para escrever na base, resolvemos
isto é, o sistema . Montamos a matriz aumentada e repetimos as mesmas operações:
Após as mesmas etapas de escalonamento obtemos
Fazendo retro– substituição:

Resposta

x = 0,u1 ;+; 2,u2 ;+; 1,u3 ;+; 2,u4

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