Mostre que os vetores formam uma base e escreva o vetor em termos dela.
(c)
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
e o vetor
O conteúdo é teste de independência linear e coordenadas de em relação à base . Para mostrar que formam base, basta ver que são linearmente independentes em . Depois, escrevemos como combinação linear deles, resolvendo o sistema .
Passo 2
Para verificar independência, montamos a matriz cujas colunas são os e levamos a forma escalonada:
Todos os pivôs na diagonal principal são não nulos, logo rank(A)=4. Como estamos em R^4, isso implica que u1,u2,u3,u4 é um conjunto de 4 vetores independentes e, portanto, base de R^4.
Passo 3
Para escrever na base, resolvemos
isto é, o sistema . Montamos a matriz aumentada e repetimos as mesmas operações: