Reduza os seguintes conjuntos de vetores a uma base.
(a) lu1=(0,2,-1) u2=(3,7,1) u3=(2,0,3) u4=(5,1,8)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
u1=(0,2,-1), u2=(3,7,1), u3=(2,0,3), u4=(5,1,8)
e pede para extrair uma base (ou seja, um subconjunto maximalmente independente). Para isso vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para identificar as colunas-pivô.

Passo 2

Montamos a matriz
A = 0 & 3 & 2 & 5 2 & 7 & 0 & 1 -1 & 1 & 3 & 8 ,
onde a coluna j é o vetor uj. Aplicamos operações de linha para obter forma escalonada:
  1. Troque L1rightarrow L2:
2 & 7 & 0 & 1 0 & 3 & 2 & 5 -1& 1 & 3 & 8
  1. Divida L1 por 2 e elimine abaixo na coluna 1:
1 & tfrac72 & 0 & tfrac12 0 & 3 & 2 & 5 0 & tfrac92 & 3 & tfrac172

Passo 3

Agora pivote na coluna 2 em L2:
  1. Divida L2 por 3:
1 & tfrac72 & 0 & tfrac12 0 & 1 & tfrac23 & tfrac53 0 & tfrac92 & 3 & tfrac172
  1. Elimine abaixo usando L3 to L3 - tfrac92,L2:
1 & tfrac72 & 0 & tfrac12 0 & 1 & tfrac23 & tfrac53 0 & 0 & 0 & 1
Chegamos a pivôs nas colunas 1, 2 e 4.

Passo 4

As colunas-pivô são as colunas 1, 2 e 4 de A. Logo os vetores originais u1,u2,u4 são independentes e formam uma base do espaço gerado pelos quatro vetores.

Resposta

A base reduzida é
,u1,,u2,,u4 = l(0,2,-1),,(3,7,1),,(5,1,8)r

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