Reduza os seguintes conjuntos de vetores a uma base.
(b) lv1=(1,4,-3) v2=(3,-7,5) v3=(3,-2,1) v4=(-4,1,0)

Passo 1

Temos o conjunto
v1,v2,v3,v4subsetR^3
com
v1=(1,4,-3), v2=(3,-7,5), v3=(3,-2,1), v4=(-4,1,0)
Queremos extrair uma base do subespaço gerado por esses vetores, isto é, escolher um subconjunto linearmente independente que gere o mesmo espaço. Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e aplicar eliminação de Gauss, de modo a identificar quais colunas são pivôs (vetores independentes).

Passo 2

Formamos a matriz AinR^3times4 cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
A = 1 & 3 & 3 & -4 [6pt] 4 & -7 & -2 & 1 [6pt] -3 & 5 & 1 & 0
Aplicamos eliminação de Gauss (só usando operações de linha) para levar a matriz a uma forma escalonada:
1. R2 R2 - 4R1, R3 R3 +3R1, resultando em
1 & 3 & 3 & -4 [3pt] 0 & -19 & -14 & 17 [3pt] 0 & 14 & 10 & -12
2. R3 R3 + tfrac1419,R2, para zerar a entrada na coluna 2 da terceira linha:
1 & 3 & 3 & -4 [3pt] 0 & -19 & -14 & 17 [3pt] 0 & 0 & -tfrac619 & tfrac1019
Em particular, a terceira linha não se anula completamente, então há pivô na coluna 3.
]

Passo 3

Contamos pivôs nas colunas:
  • Coluna 1 tem pivô na linha 1.
  • Coluna 2 tem pivô na linha 2.
  • Coluna 3 tem pivô na linha 3.
  • Coluna 4 não tem pivô (é combinação linear das três primeiras).
Isso nos diz que v1,v2,v3 é um conjunto de vetores independentes que gera o mesmo espaço de v1,v2,v3,v4.

Resposta

A base obtida é
,v1,,v2,,v3 =l(1,4,-3),,(3,-7,5),,(3,-2,1)r

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