Mostre que os vetores v1=(-35, 45, 0), v2=(45, 25, 0) e v3=(0,0,1) formam uma base ortonormal de R^3 em relaçào ao produto interno euclidiano; ent seguida, use o Tcorema 6.3.1 para expressar cada um dos seguintes vetores como uma combinação linear de v1, v2 e v3.
(a) (1,-1,2)
(b) (3,-7,4)
(c) (17,-27, 57)

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos:
  1. Mostrar que os vetores
v1=l(-35,45,0r), v2=l(45,25,0r), v3=(0,0,1)
formam uma base ortonormal de R^3 em relação ao produto interno padrão (produto escalar).
2. Usar então o Teorema 6.3.1 (que diz que num sistema ortonormal os coeficientes da expansão de um vetor x são lang<= x,virang<=) para expressar como combinação linear de v1,v2,v3 os vetores
(a) (1,-1,2),
(b) (3,-7,4),
(c) l(tfrac17,-tfrac27,tfrac57r).

Passo 2

Para ser ortonormal, cada vi deve ter norma 1 e dois vetores distintos devem ser ortogonais. Vamos checar primeiro |v2|:
|v2| ;=;raizl(tfrac45r)^2+l(tfrac25r)^2+0^2 ;=;raiztfrac1625+tfrac425 ;=;raiztfrac2025 ;=;raiztfrac45 ;neq1
Logo v2 não é unitário.

Passo 3

Além disso, calculamos o produto escalar de v1 com v2:
lang<= v1,v2rang<= =l(-tfrac35r)l(tfrac45r) +l(tfrac45r)l(tfrac25r) +0cdot0 =-12+825 =-425neq0
Isso mostra que v1 e v2 não são ortogonais.

Passo 4

Como para ser uma base ortonormal precisamos tanto de normas iguais a 1 quanto de ortogonalidade mútua, concluímos que o conjunto v1,v2,v3 não é ortonormal. Há um erro no vetor v2 fornecido (ele nem é unitário nem é ortogonal a v1).

Resposta

Não é possível mostrar que v1,v2,v3 é base ortonormal porque v2 não tem norma 1 e nem é ortogonal a v1. Portanto, o enunciado contém uma inconsistência e não se pode aplicar o Teorema 6.3.1 a esse conjunto.

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