Mostre que os vetores
e
formam uma base ortonormal de
em relaçào ao produto interno euclidiano; ent seguida, use o Tcorema 6.3.1 para expressar cada um dos seguintes vetores como uma combinação linear de
e
.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos:
- Mostrar que os vetores
formam uma base ortonormal de
em relação ao produto interno padrão (produto escalar).
2. Usar então o Teorema 6.3.1 (que diz que num sistema ortonormal os coeficientes da expansão de um vetor são
) para expressar como combinação linear de
os vetores
(a) ,
(b) ,
(c) .
2. Usar então o Teorema 6.3.1 (que diz que num sistema ortonormal os coeficientes da expansão de um vetor
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Para ser ortonormal, cada
deve ter norma 1 e dois vetores distintos devem ser ortogonais. Vamos checar primeiro
:
Logo
não é unitário.
Passo 3
Além disso, calculamos o produto escalar de
com
:
Isso mostra que
e
não são ortogonais.
Passo 4
Como para ser uma base ortonormal precisamos tanto de normas iguais a 1 quanto de ortogonalidade mútua, concluímos que o conjunto
não é ortonormal. Há um erro no vetor
fornecido (ele nem é unitário nem é ortogonal a
).
Resposta
Não é possível mostrar que
é base ortonormal porque
não tem norma 1 e nem é ortogonal a
. Portanto, o enunciado contém uma inconsistência e não se pode aplicar o Teorema 6.3.1 a esse conjunto.