Suponha que
tem o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base
em uma base ortonormal . Esboce os vetores de ambas bases no plano
.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para, em
com o produto interno euclidiano, usar o processo de Gram–Schmidt para transformar cada par
numa base ortonormal e depois esboçar no plano
tanto os vetores originais quanto os ortonormais. Vamos precisar da fórmula da projeção
e da normalização
.
Passo 2
Parte (a):
,
.
Definimos
Definimos
Em seguida, projetamos
sobre
:
Logo
Note que
e
. O módulo é
e portanto
Assim a base ortonormal é
Passo 3
Esboço para (a):
-
aponta para baixo à direita (quadrante IV), e mantém direção mas unitário. -
aponta para cima à direita (quadrante I), e é seu componente ortogonal a , também no quadrante I.
Passo 4
Parte (b):
,
.
Definimos
Definimos
Projeta-se
sobre
:
Então
A base ortonormal resultante é
Passo 5
Esboço para (b):
-
e são o eixo positivo. -
aponta para baixo à direita, e é seu componente ortogonal a , apontando para baixo no eixo .
Resposta
(a) Base ortonormal
(b) Base ortonormal