Suponha que R^2 tem o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2 em uma base ortonormal . Esboce os vetores de ambas bases no plano x y.
(a) u1=(1,-3), u2=(2,2)
(b) u1=(1,0), u2=(3,-5)

Passo 1

O enunciado pede para, em R^2 com o produto interno euclidiano, usar o processo de Gram–Schmidt para transformar cada par u1, u2 numa base ortonormal e depois esboçar no plano xy tanto os vetores originais quanto os ortonormais. Vamos precisar da fórmula da projeção
proj v( w) =lang<= w, vrang<=lang<= v, vrang<=, v
e da normalização e= v/| v|.

Passo 2

Parte (a): u1=(1,-3), u2=(2,2).
Definimos
v1= u1=(1,-3), | v1|=raiz1^2+(-3)^2=raiz10,
e1= v1| v1| =l(tfrac1raiz10,-tfrac3raiz10r)
Em seguida, projetamos u2 sobre e1:
lang<= u2, e1rang<= =2cdot1+2cdot(-3)raiz10 =-4raiz10, proj e1( u2) =-4raiz10, e1 =-410(1,-3)=(-0,4,,1,2)
Logo
v2 = u2-proj e1( u2) =(2,2)-(-0,4,,1,2)=(1,6,,3,2)equiv(1,6,3,2)
Note que 1,6=1,6 e 3,2=3,2. O módulo é
| v2| =raiz(1,6)^2+(3,2)^2 =raiz2,56+10,24=raiz12,8=2raiz3,2,
e portanto
e2= v2| v2| =l(tfrac1,6raiz12,8,tfrac3,2raiz12,8r) =l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r)
Assim a base ortonormal é
l e1, e2r =l,(1/raiz10,-3/raiz10),(1/raiz5,2/raiz5)r

Passo 3

Esboço para (a):
  • u1=(1,-3) aponta para baixo à direita (quadrante IV), e e1 mantém direção mas unitário.
  • u2=(2,2) aponta para cima à direita (quadrante I), e e2=(1/raiz5,2/raiz5) é seu componente ortogonal a e1, também no quadrante I.

Passo 4

Parte (b): u1=(1,0), u2=(3,-5).
Definimos
v1= u1=(1,0), | v1|=1, e1=(1,0)
Projeta-se u2 sobre e1:
lang<= u2, e1rang<= =3, proj e1( u2) =3,(1,0)=(3,0)
Então
v2= u2-(3,0)=(0,-5), | v2|=5, e2= v25=(0,-1)
A base ortonormal resultante é
(1,0),(0,-1)

Passo 5

Esboço para (b):
  • u1=(1,0) e e1=(1,0) são o eixo x positivo.
  • u2=(3,-5) aponta para baixo à direita, e e2=(0,-1) é seu componente ortogonal a e1, apontando para baixo no eixo y.

Resposta

(a) Base ortonormal
l,(1/raiz10,-3/raiz10),,(1/raiz5,2/raiz5)r
(b) Base ortonormal
(1,0),(0,-1)

Exercícios relacionados