a) Encontre bases para o espaço-linha e espaço-nulo de A.
b) Mostre que cadà vetor dỏ éspaço-linha é ortogornal a cada vetor do espaço-nulo
c) Encontre bases para o espaço-coluna de A e para o espaço-nulo de A^T.
d) Mostre que cada vetor dó espaço-coluna de barA é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo de A^T
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & -1 & 2 3 & 5 & 0 & 4 1 & 1 & 2 & 0
e pede bases para os quatro subespaços fundamentais (espaço-linha, espaço-nulo, espaço-coluna e espaço-nulo de A^T), além de mostrar a ortogonalidade entre pares correspondentes. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto de A, extrair as bases e depois resolver sistemas homogêneos para os espaços nulos.
Todos os demais produtos escalares também dão zero, logo o espaço-linha é ortogonal ao espaço-nulo.
Passo 5
Para o espaço-coluna, escolhemos as colunas pivô originais de , que são as colunas 1 e 2:
Para o espaço-nulo de (chamado à esquerda), resolvemos
Dessa forma obtemos as condições
logo
Uma base de é
Passo 6
Finalmente, checamos que cada vetor da base do espaço-coluna é ortogonal ao vetor (2,-1,1). Por exemplo,
(1,3,1)cdot(2,-1,1)=1cdot2+3cdot(-1)+1cdot1=0,
e
(2,5,1)cdot(2,-1,1)=2cdot2+5cdot(-1)+1cdot1=0
Assim cada vetor do espaço-coluna é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo de A^T.
Resposta
a) Espaço-linha: (1,2,-1,2),(0,-1,3,-2). Espaço-nulo: (-5,3,1,0),(2,-2,0,1).
b) Verificou-se que todos os produtos escalares entre base do espaço-linha e base do espaço-nulo são zero.
c) Espaço-coluna: (1,3,1)^T,(2,5,1)^T. Espaço-nulo de A^T: (2,-1,1).
d) Constatou-se que os produtos escalares entre cada vetor da base do espaço-coluna e (2,-1,1) são zero.