1. a) Mostre que os vetores v=(2,1) e u=(1,1) geram o R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores v=(2,1) e u=(1,1) geram R^2.
Conteúdo: espaços vetoriais, combinação linear e definição de gerador (span).

Passo 2

Para provar que v,u gera R^2, basta mostrar que um vetor arbitrário (x,y)inR^2 pode ser escrito como combinação linear de v e u. Ou seja, existem escalares alpha e beta tais que
alpha,(2,1) + beta,(1,1) = (x,y)

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
2alpha + beta = x, alpha + beta = y
Esse sistema deve ter solução para todo (x,y).

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2alpha + beta) - (alpha + beta) = x - y Longrightarrow alpha = x - y
Em seguida, da segunda equação,
beta = y - alpha = y - (x - y) = 2y - x

Passo 5

Como para todo (x,y) encontramos
alpha = x - y, beta = 2y - x,
seguindo
(x,y) = (x-y),(2,1) + (2y - x),(1,1),
concluímos que qualquer vetor de R^2 está no span v,u. Logo, v e u geram R^2.

Resposta

Os vetores v=(2,1) e u=(1,1) geram R^2.

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