Seja T: R^2 R^3 definida por T[lx y]=[c2 x x-y 0]. Verifique se T é um isomorfismo. Com base em sua resposta, podemos afirmar que T é invertível?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
e pergunta se é um isomorfismo e, em consequência, se é invertível. Para responder usamos os conceitos de injetividade, sobrejetividade e a relação entre isomorfismo e bijeção em transformações lineares.

Passo 2

Verificamos primeiro que T é linear por construção, pois pode ser escrita como multiplicação pela matriz
A = 2 & 01 & -10 & 0,
ou seja, T(v)=A,v. Assim, basta checar injetividade e sobrejetividade.

Passo 3

Para injetividade, analisamos o núcleo:
T(x,y)=0 Long<=ftrightarrow 2x = 0, x - y = 0, 0 = 0
Da primeira equação vem x=0; da segunda, y=x=0. Logo ker(T)=(0,0) e T é injetora.

Passo 4

Para sobrejetividade, comparamos as dimensões. O posto de é o número de colunas linearmente independentes: os vetores coluna e são independentes, então
Logo não é sobrejetora em .

Passo 5

Como T é injetora mas não sobrejetora, não é bijetora. Transformação linear é isomorfismo se e somente se for bijetora.

Resposta

T não é um isomorfismo e, portanto, não é invertível como transformação de R^2 em R^3.

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