Quais das seguintes funções T são lineares? Justifique.
T: R^3 R[x]2 tal que T(a, b, c)=a+b x+c x^2;

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3 to R[x]2
por
T(a,b,c)=a + b,x + c,x^2
e pergunta se T é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade: para todo u,vinR^3 e todo escalar lambdainR, devemos ter
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u=(a1,b1,c1), v=(a2,b2,c2)
Então
u+v=(a1+a2,;b1+b2,;c1+c2)
e
T(u+v) =(a1+a2)+(b1+b2)x+(c1+c2)x^2 =a1+b1x+c1x^2 ;+;a2+b2x+c2x^2 =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainR e u=(a,b,c). Então
lambda u=(lambda a,;lambda b,;lambda c)
e
T(lambda u) =lambda a + lambda b,x + lambda c,x^2 =lambdal(a + b,x + c,x^2r) =lambda,T(u)

Resposta

A transformação T(a,b,c)=a+bx+cx^2 é linear, pois preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

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