Mostre que os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,1) e w=(1,1,3) formam uma base de R^3. Exprima o vetor z=(2,3,4) como uma combinação linear de u, v e w.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,1) e w=(1,1,3) formam uma base de R^3 (isto é, são linearmente independentes e geram R^3) e, em seguida, escrever z=(2,3,4) como combinação linear de u,v,w. Vamos usar cálculo de determinante para a independência e depois resolver um sistema linear para a combinação.

Passo 2

Para testar a independência, colocamos u,v,w como colunas da matriz
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 3
e calculamos o determinante:
det(A) =1,(2cdot3-1cdot1);-;1,(1cdot3-1cdot1);+;1,(1cdot1-2cdot1) =5-2-1=2neq0
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e, por terem três vetores em R^3, formam base.

Passo 3

Para expressar z=(2,3,4) como combinação linear, supomos
a,u + b,v + c,w = z,
ou seja,
a(1,1,1) + b(1,2,1) + c(1,1,3) = (2,3,4)
Isso gera o sistema
a + b + c = 2, a + 2b + c = 3, a + b + 3c = 4

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(a+2b+c)-(a+b+c)=b=1
Subtraindo a primeira da terceira,
(a+b+3c)-(a+b+c)=2c=2;Rightarrow;c=1
Finalmente, de a+b+c=2 com b=1 e c=1 vem a=0.

Passo 5

Logo
z = 0cdot u + 1cdot v + 1cdot w = v + w

Resposta

Os vetores u,v,w formam base de R^3, pois são linearmente independentes ( det=2neq0), e
(2,3,4)=v+w

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