Sejam
um espaço vetorial e
o espaço vetorial das funções
. Uma função
é par se
e ímpar se
.
Prove que o conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaço vetoriais de
e que
.
Prove que o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaços de
e que toda função
se escreve de modo único como soma de uma função par e de uma função ímpar, isto é,
Precisamos então (i) verificar fechamento em soma e escalar para
e para
, (ii) decompor qualquer
em parte par e parte ímpar e (iii) mostrar unicidade da decomposição.
Passo 2
Verificar que
é subespaço.
Sejam e
. Então, para todo
:
Sejam
logo
. E
logo
. Além disso, a função zero
satisfaz
, logo
. Portanto
é subespaço.
Passo 3
Verificar que
é subespaço.
Sejam e
. Então, para todo
:
Sejam
logo
. E
logo
. A função zero também satisfaz
, então
. Portanto
é subespaço.
Passo 4
Decomposição de uma função arbitrária em parte par e ímpar.
Dado , definimos
por
Dado
Então, claramente,
logo
. E
logo
. Somando,
logo sempre
, provando que
.
Passo 5
Unicidade da decomposição e soma direta.
Se existissem duas decomposições
Se existissem duas decomposições
com
e
, então
O lado esquerdo é par e o direito é ímpar, logo a função
satisfaz
implicando
para todo
. Assim
e
. Em particular
, e concluímos que
Resposta
Mostramos que
e
são subespaços, que toda
se decompõe em
com
,
, e que essa decomposição é única. Portanto