Sejam X um espaço vetorial e F(X, R) o espaço vetorial das funções f: X R. Uma função f: X R é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x).
Prove que o conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são subespaço vetoriais de F(X, R) e que F(X, R)=A oplus B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
A=fcolon XtoRmid f(-x)=f(x)
das funções pares e o conjunto
B=fcolon XtoRmid f(-x)=-f(x)
das funções ímpares são subespaços de F(X,R) e que toda função fcolon XtoR se escreve de modo único como soma de uma função par e de uma função ímpar, isto é,
F(X,R)=Aoplus B
Precisamos então (i) verificar fechamento em soma e escalar para A e para B, (ii) decompor qualquer f em parte par e parte ímpar e (iii) mostrar unicidade da decomposição.

Passo 2

Verificar que A é subespaço.
Sejam f,gin A e alphainR. Então, para todo xin X:
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+gin A. E
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin A. Além disso, a função zero 0(x)=0 satisfaz 0(-x)=0=0(x), logo 0in A. Portanto A é subespaço.

Passo 3

Verificar que B é subespaço.
Sejam f,gin B e alphainR. Então, para todo xin X:
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
logo f+gin B. E
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,(-f(x))=-(alpha f)(x),
logo alpha fin B. A função zero também satisfaz 0(-x)=0=-0= -0(x), então 0in B. Portanto B é subespaço.

Passo 4

Decomposição de uma função arbitrária em parte par e ímpar.
Dado finF(X,R), definimos fe,focolon XtoR por
fe(x)=f(x)+f(-x)2,
fo(x)=f(x)-f(-x)2
Então, claramente,
fe(-x)=f(-x)+f(x)2=fe(x),
logo fein A. E
fo(-x)=f(-x)-f(x)2=-f(x)-f(-x)2=-fo(x),
logo foin B. Somando,
fe(x)+fo(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x),
logo sempre f=fe+fo, provando que A+B=F(X,R).

Passo 5

Unicidade da decomposição e soma direta.
Se existissem duas decomposições
f=g1+h1=g2+h2
com giin A e hiin B, então
g1-g2 = h2-h1
O lado esquerdo é par e o direito é ímpar, logo a função u=g1-g2 satisfaz
u(-x)=u(x)e u(-x)=-u(x),
implicando u(x)=0 para todo x. Assim g1=g2 e h1=h2. Em particular Acap B=0, e concluímos que
F(X,R)=Aoplus B

Resposta

Mostramos que A e B são subespaços, que toda f se decompõe em f=fe+fo com fein A, foin B, e que essa decomposição é única. Portanto
F(X,R)=Aoplus B

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