Seja E um espaço vetorial. Um conjunto V subset E chama-se uma variedade afim se
x, y in V Rightarrow(1-t) x+t y in V para t in R
dados v1, cdots, vn in V e alpha1, cdots, alphan in R com alpha1+cdots+alphan=1.
Prove que alpha1 v1+cdot+alphan vn in V.

Passo 1

O enunciado define uma variedade afim Vsubset E como um subconjunto fechado em combinações afins de 2 pontos, isto é,
x,yin V;Longrightarrow;(1-t)x+t,yin V para todo tinR
Queremos mostrar que essa propriedade se estende a combinações afins de n pontos arbitrários: dados
v1,dots,vnin V e alpha1,dots,alphaninR com alpha1+cdots+alphan=1,
então
alpha1v1+cdots+alphanvnin V
O conteúdo usado será o princípio de indução sobre n e a hipótese de fechamento de V para combinações de 2 pontos.

Passo 2

Verificamos os casos básicos:
  1. n=1. Então alpha1=1 e alpha1v1=v1in V trivialmente.
  2. n=2. É exatamente a definição de variedade afim: se alpha1+alpha2=1, então
alpha1v1+alpha2v2 =(1-alpha2)v1+alpha2v2in V

Passo 3

Suponha agora que o resultado valha para qualquer combinação afim de n-1 pontos em V. Vamos provar para n pontos. Seja
alpha1+cdots+alphan=1. Defina
beta=alphan-1+alphan
Se beta=0, então alphan-1=alphan=0 e o problema reduz-se a combinar apenas n-2 pontos, colocando beta=0. Se betaneq0, definimos o ponto
u=alphan-1beta,vn-1+alphanbeta,vn
Como alphan-1beta+alphanbeta=1, a hipótese de variedade afim de dois pontos garante
uin V

Passo 4

Agora temos n-1 pontos em V:
v1,dots,vn-2,u,
com pesos
alpha1,dots,alphan-2,beta,
que somam
alpha1+cdots+alphan-2+beta =alpha1+cdots+alphan=1
Pela hipótese de indução, a combinação afim desses n-1 pontos está em V:
alpha1v1+cdots+alphan-2vn-2 +beta,uin V
Substituindo a expressão de u obtemos
alpha1v1+cdots+alphan-2vn-2 +betal(alphan-1betavn-1+alphanbetavnr) =alpha1v1+cdots+alphanvnin V

Resposta

alpha1v1+cdots+alphanvnin V.

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