Seja
um espaço vetorial. Um conjunto
chama-se uma variedade afim se
e
.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
O enunciado define uma variedade afim
como um subconjunto fechado em combinações afins de 2 pontos, isto é,
Queremos mostrar que essa propriedade se estende a combinações afins de
pontos arbitrários: dados
então
O conteúdo usado será o princípio de indução sobre
e a hipótese de fechamento de
para combinações de 2 pontos.
Passo 2
Verificamos os casos básicos:
-
. Então e trivialmente. -
. É exatamente a definição de variedade afim: se , então
Passo 3
Suponha agora que o resultado valha para qualquer combinação afim de
pontos em
. Vamos provar para
pontos. Seja
. Defina
Se
, então
e o problema reduz-se a combinar apenas
pontos, colocando
. Se
, definimos o ponto
Como
, a hipótese de variedade afim de dois pontos garante
Passo 4
Agora temos
pontos em
:
com pesos
que somam
Pela hipótese de indução, a combinação afim desses
pontos está em
:
Substituindo a expressão de
obtemos