Verifique que os vetores vecu e vecv não são múltiplos um do outro e escreva o vetor vecw como combinação linear de vecu e vecv, onde:
vecu=(-2,1), vecv=(1,2) e vecw=(2,2)

Passo 1

No enunciado temos u=(-2,1), v=(1,2) e w=(2,2). O conteúdo é combinação linear de vetores em R^2. Primeiro vamos verificar que u e v não são múltiplos um do outro (isto é, são linearmente independentes) e em seguida escrever w como alphau+betav, encontrando alpha e beta.

Passo 2

Para u e v serem múltiplos precisaria existir um escalar k tal que
(-2,1)=k,(1,2)
Isso daria -2=k e simultaneamente 1=2k, o que é impossível ( 1neq2(-2)). Alternativamente, o determinante
det(u,v) = (-2)cdot2 - 1cdot1 = -5 neq 0
mostra que eles são linearmente independentes.

Passo 3

Procuramos alpha e beta tais que
alpha,u + beta,v = w
Isso gera o sistema
-2alpha + beta = 2
alpha + 2beta = 2
Da primeira equação vem beta = 2 + 2alpha. Substituindo na segunda,
alpha + 2(2 + 2alpha) = 2 Longrightarrow 5alpha + 4 = 2 Longrightarrow alpha = -tfrac25
Então
beta = 2 + 2l(-tfrac25r) = tfrac65

Passo 4

Com alpha = -tfrac25 e beta = tfrac65, concluímos
w = -tfrac25,u + tfrac65,v

Resposta

w = -25,u + 65,v

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