Mostre que W=(x, y) in R^2 ; x=0 é subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y)inR^2 : x=0
e pede para mostrar que W é subespaço de R^2. Para isso, precisamos usar o teste de subespaço vetorial, que diz que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se satisfaz:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo de R^2 é (0,0). Como a primeira coordenada é 0, temos (0,0)in W. Portanto, a condição do vetor zero está satisfeita.

Passo 3

Fechamento sob soma: seja u=(0,y1)in W e v=(0,y2)in W. Então
u+v = (0,y1) + (0,y2) = (0+0,;y1+y2) = (0,y1+y2)
Como a primeira coordenada continua 0, segue que u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja u=(0,y1)in W e lambdainR. Então
lambda,u = lambda,(0,y1) = (lambdacdot 0,;lambdacdot y1) = (0,lambda y1)
De novo a primeira coordenada é 0, logo lambda uin W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^2.

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