Questão 6: Calcule os valores de e para que as matrizes e B=[llx & y 0 & 2] comutem na multiplicação.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
A = 1 & 3 -1 & 0 e B = x & y 0 & 2
e pede os valores de x e y tais que AB = BA. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes para escrever AB e BA e igualar seus elementos correspondentes.
Passo 2
Calculando AB:
AB = 1 & 3 -1 & 0 x & y0 & 2 = 1cdot x + 3cdot 0 & 1cdot y + 3cdot 2 -1cdot x + 0cdot 0 & -1cdot y + 0cdot 2 = x & y + 6 -,x & -,y
Passo 3
Calculando BA:
BA = x & y0 & 2 1 & 3-1 & 0 = xcdot1 + ycdot(-1) & xcdot3 + ycdot0 0cdot1 + 2cdot(-1) & 0cdot3 + 2cdot0 = x - y & 3x -2 & 0
Passo 4
Para ter AB = BA, todos os elementos correspondentes devem ser iguais. Das matrizes
AB = x & y+6-x & -y, BA = x-y & 3x-2 & 0,
obtemos o sistema
x = x - y, y + 6 = 3x, -,x = -2, -,y = 0
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação x = x - y vem y = 0.
Da quarta equação -y = 0 confirma y=0.
Da terceira equação -x = -2 vem x = 2.
Substituindo em y+6=3x temos 0+6=3cdot2, que também fica 6=6. Tudo consistente.