Mostre que se [\widehat{H}, \widehat{A}]=0, então \sigma_{\hat{\mathrm{A}}} é constante no tempo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um Hamiltoniano \widehat H e um observável \widehat A tais que
[\widehat H,\widehat A]=0,
e queremos mostrar que a dispersão (ou desvio-padrão) de \widehat A, que chamamos de \sigma_{\hat A}, não muda com o tempo quando o estado evolui pela equação de Schrödinger. Para isso, vamos usar o teorema de Ehrenfest e a definição de variância em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada temporal da média de \widehat A. Pelo teorema de Ehrenfest, sem dependência explícita de tempo em \widehat A, vale
\frac{d}{dt}\langle \widehat A\rangle =\frac{i}{\hbar}\,\langle[\widehat H,\widehat A]\rangle.
Como estamos assumindo [\widehat H,\widehat A]=0, concluímos
\frac{d}{dt}\langle \widehat A\rangle=0,
ou seja, \langle \widehat A\rangle é constante.

Passo 3

Agora, façamos o mesmo para \langle \widehat A^2\rangle. Aplicando Ehrenfest a \widehat A^2 (que também não depende do tempo) temos
\frac{d}{dt}\langle \widehat A^2\rangle =\frac{i}{\hbar}\,\langle[\widehat H,\widehat A^2]\rangle.
Usando a identidade de comutadores
[\widehat H,\widehat A^2]=[\widehat H,\widehat A]\,\widehat A +\widehat A\,[\widehat H,\widehat A],
e sabendo que [\widehat H,\widehat A]=0, decorre que
\frac{d}{dt}\langle \widehat A^2\rangle=0.

Passo 4

A variância de \widehat A é
\mathrm{Var}(\widehat A) =\langle \widehat A^2\rangle -\langle \widehat A\rangle^2.
Como tanto \langle \widehat A^2\rangle quanto \langle \widehat A\rangle são constantes, sua combinação também o é. Portanto
\frac{d}{dt}\mathrm{Var}(\widehat A)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Var}(\widehat A)\text{ constante}.
E, como \sigma_{\hat A}=\sqrt{\mathrm{Var}(\widehat A)}, segue que \sigma_{\hat A} é constante no tempo.

Resposta

\sigma_{\hat A} permanece constante ao longo da evolução quando [\widehat H,\widehat A]=0.

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