Mostre que se
, então
é constante no tempo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um Hamiltoniano
e um observável
tais que
e queremos mostrar que a dispersão (ou desvio-padrão) de
, que chamamos de
, não muda com o tempo quando o estado evolui pela equação de Schrödinger. Para isso, vamos usar o teorema de Ehrenfest e a definição de variância em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada temporal da média de
. Pelo teorema de Ehrenfest, sem dependência explícita de tempo em
, vale
Como estamos assumindo
, concluímos
ou seja,
é constante.
Passo 3
Agora, façamos o mesmo para
. Aplicando Ehrenfest a
(que também não depende do tempo) temos
Usando a identidade de comutadores
e sabendo que
, decorre que
Passo 4
A variância de
é
Como tanto
quanto
são constantes, sua combinação também o é. Portanto
E, como
, segue que
é constante no tempo.