Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o Wronskiano das soluções e é igual a e nunca zero para todo real. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele para duas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é uma forma de verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas derivadas de primeira ordem. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos identificar nossas funções:
f(t) = e^-2 t
g(t) = t e^-2 t
Precisamos calcular as derivadas de cada uma delas.
Passo 4
Calculando a derivada de f(t) = e^-2 t :
f'(t) = ddt e^-2 t = -2 e^-2 t
Passo 5
Calculando a derivada de g(t) = t e^-2 t :
Aplicamos a regra do produto:
g'(t) = ddt (t) cdot e^-2 t + t cdot ddt (e^-2 t) = 1 cdot e^-2 t + t cdot (-2 e^-2 t) = e^-2 t - 2 t e^-2 t
Passo 6
Agora, montamos a matriz para calcular o Wronskiano:
W(f, g) = e^-2 t & t e^-2 t -2 e^-2 t & e^-2 t - 2 t e^-2 t
Passo 7
Calculamos o determinante dessa matriz:
W(f, g) = e^-2 t cdot (e^-2 t - 2 t e^-2 t) - t e^-2 t cdot (-2 e^-2 t)
= e^-4 t - 2 t e^-4 t + 2 t e^-4 t
Passo 8
Simplificando os termos:
W(f, g) = e^-4 t - 2 t e^-4 t + 2 t e^-4 t = e^-4 t
Resposta
W(e^-2 t, t e^-2 t) = e^-4 t neq 0 para todo t real