Mostre que o Wronskiano das soluções
W(e^-2 t, t e^-2 t)=e^-4 t neq 0
para todo t real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o Wronskiano das soluções e^-2 t e t e^-2 t é igual a e^-4 t e nunca zero para todo t real. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele para duas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções f(t) e g(t) é uma forma de verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas derivadas de primeira ordem. Ou seja,
W(f, g) = f(t) & g(t) f'(t) & g'(t)

Passo 3

Agora, vamos identificar nossas funções:
  • f(t) = e^-2 t
  • g(t) = t e^-2 t
Precisamos calcular as derivadas de cada uma delas.

Passo 4

Calculando a derivada de f(t) = e^-2 t :
f'(t) = ddt e^-2 t = -2 e^-2 t

Passo 5

Calculando a derivada de g(t) = t e^-2 t :
Aplicamos a regra do produto:
g'(t) = ddt (t) cdot e^-2 t + t cdot ddt (e^-2 t) = 1 cdot e^-2 t + t cdot (-2 e^-2 t) = e^-2 t - 2 t e^-2 t

Passo 6

Agora, montamos a matriz para calcular o Wronskiano:
W(f, g) = e^-2 t & t e^-2 t -2 e^-2 t & e^-2 t - 2 t e^-2 t

Passo 7

Calculamos o determinante dessa matriz:
W(f, g) = e^-2 t cdot (e^-2 t - 2 t e^-2 t) - t e^-2 t cdot (-2 e^-2 t)
= e^-4 t - 2 t e^-4 t + 2 t e^-4 t

Passo 8

Simplificando os termos:
W(f, g) = e^-4 t - 2 t e^-4 t + 2 t e^-4 t = e^-4 t

Resposta

W(e^-2 t, t e^-2 t) = e^-4 t neq 0 para todo t real

Exercícios relacionados