Resolver a equação diferencial para y=y(t)
y^prime prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' + y = 0 . Essa é uma equação de segunda ordem que envolve as derivadas da função y(t) . Para resolver, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A forma geral dela é y'' + p y' + q y = 0 . No nosso caso, não tem o termo y' , então p = 0 e q = 1 .

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a equação característica associada. Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é um número que vamos determinar. Substituindo na equação original:
r^2 e^rt + e^rt = 0
Podemos dividir tudo por e^rt (que nunca é zero), ficando:
r^2 + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica r^2 + 1 = 0 , obtemos:
r^2 = -1 implies r = pm i
Isso significa que as raízes são complexas: r = i e r = -i .

Passo 5

Com raízes complexas do tipo alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
No nosso caso, alpha = 0 e beta = 1 , então a solução fica:
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)

Resposta

A solução geral da equação y'' + y = 0 é:
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)

Exercícios relacionados