Resolver a equação diferencial para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação de segunda ordem que envolve as derivadas da função
. Para resolver, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A forma geral dela é
. No nosso caso, não tem o termo
, então
e
.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a equação característica associada. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Substituindo na equação original:
Podemos dividir tudo por
(que nunca é zero), ficando:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, obtemos:
Isso significa que as raízes são complexas:
e
.
Passo 5
Com raízes complexas do tipo
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução fica:
Resposta
A solução geral da equação
é: