Mostre que x >= 1+12 x^2 para todo x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que e^x >= 1 + x + tfrac12x^2 para todo real x. Isso é um caso de desigualdade de Taylor para a função exponencial, e vamos usar o fato de que ela é convexa e suas derivadas são positivas.

Passo 2

Definimos a função auxiliar f(x)=e^x -l(1 + x + tfrac12x^2r). Nosso objetivo é provar que f(x)>=0 para todo x, o que equivale à desigualdade desejada.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=e^x - l(1 + xr)
Sabemos pela desigualdade básica e^x >= 1 + x que f'(x)>= 0 para todo x. Isso mostra que f é não decrescente em toda reta.

Passo 4

Como f é não decrescente e f(0)=e^0 - (1 + 0 + 0)=0, concluímos que f(x)>= f(0)=0 para todo x. Portanto, temos e^x - (1 + x + tfrac12 x^2)>=0, ou seja, e^x >= 1 + x + tfrac12 x^2 para todo real x.

Resposta

e^x >= 1 + x + tfrac12 x^2 para todo xin R.

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