Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
para todo real
. Isso é um caso de desigualdade de Taylor para a função exponencial, e vamos usar o fato de que ela é convexa e suas derivadas são positivas.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
. Nosso objetivo é provar que
para todo
, o que equivale à desigualdade desejada.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada:
Sabemos pela desigualdade básica
que
para todo
. Isso mostra que
é não decrescente em toda reta.
Passo 4
Como
é não decrescente e
, concluímos que
para todo
. Portanto, temos
, ou seja,
para todo real
.