Mostre que:
a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)
onde x_{1}, x_{2} são as raízes.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio quadrático
a x^{2}+b x+c
e informa que x_{1} e x_{2} são as raízes, isto é, as soluções da equação
a x^{2}+b x+c=0.
Queremos mostrar que esse polinômio se fatoriza como
a(x-x_{1})(x-x_{2}).

Passo 2

Começamos expandindo o produto do lado direito:
a(x-x_{1})(x-x_{2}) = a\bigl(x^{2} - (x_{1}+x_{2})\,x + x_{1}x_{2}\bigr).
Pelas fórmulas de Viète para raízes de a x^{2}+b x+c temos
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad\text{e}\quad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.
Substituindo esses valores na expansão:
a\bigl(x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2}\bigr) = a\Bigl(x^{2} - \Bigl(-\frac{b}{a}\Bigr)x + \frac{c}{a}\Bigr) = a x^{2} + b x + c.

Resposta

a x^{2}+b x+c = a(x-x_{1})(x-x_{2}).

Exercícios relacionados