Mostre que:
x^{3}-a^{3}=(x-a)\left(x^{2}+a x+a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a fatoração do polinômio x^{3}-a^{3}. Esse é um caso de produto notável conhecido como “diferença de cubos”, e a ideia é reescrever x^{3}-a^{3} como o produto de um binômio (x-a) por um trinômio.

Passo 2

Para verificar a fatoração, consideramos o produto
(x - a)\,(x^{2} + a x + a^{2}).
A estratégia é expandir esse produto e comparar com x^{3}-a^{3}.

Passo 3

Expandindo termo a termo:
(x - a)(x^{2} + a x + a^{2}) = x\cdot x^{2} + x\cdot(a x) + x\cdot a^{2} - a\cdot x^{2} - a\cdot(a x) - a\cdot a^{2}.

Passo 4

Agora agrupamos e simplificamos:
x\cdot x^{2} = x^{3},\quad x\cdot(a x)=a x^{2},\quad x\cdot a^{2}=a^{2}x,
- a\cdot x^{2}=-a x^{2},\quad - a\cdot(a x)=-a^{2}x,\quad - a\cdot a^{2}=-a^{3}.
Somando todos:
x^{3} + a x^{2} + a^{2}x \;-\; a x^{2} - a^{2}x \;-\; a^{3} = x^{3} - a^{3}.

Resposta

Ficou demonstrado que
x^{3}-a^{3}=(x-a)\left(x^{2}+a x+a^{2}\right).

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