Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
x y^{2} y^{\prime}+y^{3}=x \cos x;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
x\,y^{2}\frac{dy}{dx}+y^{3}=x\cos x
e pede a solução geral. Vamos usar o conteúdo de EDO linear após a substituição v=y^{3}.

Passo 2

Definindo v=y^{3}, temos
\frac{dv}{dx}=3\,y^{2}\frac{dy}{dx}.
Dividindo a equação original por x\,y^{2} (supondo x\neq0 e y\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{\cos x}{y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por 3y^{2} surge uma equação linear em v:
\frac{dv}{dx}+\frac{3}{x}\,v=3\cos x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{3}{x}\,dx\Bigr)=x^{3}.
Multiplicando a equação linear por \mu(x) resulta em
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}v\bigr)=3x^{3}\cos x.

Passo 4

Integramos em x:
x^{3}v=3\int x^{3}\cos x\,dx + C.
Para calcular \int x^{3}\cos x\,dx usamos integração por partes repetidas e achamos
\int x^{3}\cos x\,dx = x^{3}\sin x +3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x.
Logo
x^{3}v =3\bigl(x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x\bigr)+C.

Passo 5

Voltando a y (pois v=y^{3}), obtemos
y^{3} =\frac{3x^{3}\sin x+9x^{2}\cos x-18x\sin x-18\cos x + C}{x^{3}}.
Portanto
y(x) =\sqrt[3]{\frac{3x^{3}\sin x+9x^{2}\cos x-18x\sin x-18\cos x + C}{x^{3}}},
que é a forma explícita da solução geral.

Resposta

A solução geral é
y(x) =\sqrt[3]{\frac{3x^{3}\sin x+9x^{2}\cos x-18x\sin x-18\cos x + C}{x^{3}}},
e está dada de forma explícita.

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