Seja \emptyset \neq A \subset \mathbb{R} um conjunto limitado inferiormente. Se existir \beta \in A tal que \beta é uma cota inferior de A, então \beta=\inf A.

Passo 1

O enunciado diz que A é um subconjunto não vazio de \mathbb{R}, limitado inferiormente, e que existe \beta\in A tal que
\beta é cota inferior de A. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses, \beta coincide com \inf A. Para isso vamos usar a definição de ínfimo (maior cota inferior).

Passo 2

Lembrando a definição, m=\inf A significa duas coisas:
  1. m é cota inferior de A, isto é, para todo a\in A vale m\le a.
  2. m é a maior entre as cotas inferiores, ou seja, se \gamma é outra cota inferior de A, então \gamma\le m.

Passo 3

Pelo enunciado, \beta\in A e \beta é cota inferior de A. Assim temos imediatamente a primeira propriedade de ínfimo:
para todo a\in A,
\beta \le a.

Passo 4

Agora seja \gamma qualquer cota inferior de A. Como \gamma é cota inferior, vale \gamma \le a para todo a\in A. Em particular, tomando a=\beta (que sabemos estar em A), obtemos
\gamma \le \beta.
Isto mostra que nenhuma outra cota inferior ultrapassa \beta, ou seja, \beta é a maior cota inferior de A.

Resposta

Portanto, \beta satisfaz exatamente as duas propriedades que caracterizam \inf A. Concluímos que
\beta = \inf A.

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