Seja
um conjunto limitado inferiormente. Se existir
tal que
é uma cota inferior de
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um subconjunto não vazio de
, limitado inferiormente, e que existe
tal que
é cota inferior de
. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses,
coincide com
. Para isso vamos usar a definição de ínfimo (maior cota inferior).
Passo 2
Lembrando a definição,
significa duas coisas:
-
é cota inferior de , isto é, para todo vale . -
é a maior entre as cotas inferiores, ou seja, se é outra cota inferior de , então .
Passo 3
Pelo enunciado,
e
é cota inferior de
. Assim temos imediatamente a primeira propriedade de ínfimo:
para todo ,
para todo
Passo 4
Agora seja
qualquer cota inferior de
. Como
é cota inferior, vale
para todo
. Em particular, tomando
(que sabemos estar em
), obtemos
Isto mostra que nenhuma outra cota inferior ultrapassa
, ou seja,
é a maior cota inferior de
.
Resposta
Portanto,
satisfaz exatamente as duas propriedades que caracterizam
. Concluímos que