QUESTÃO 3: (Valor: 4,0 pts) Identifique e esboce a superfície quádrica de equação:
S: 4 x^{2}-16 x+y^{2}-8 y+4 z^{2}+8 z+20=0 .
Destaque as interseções com os eixos e planos coordenados. Essa superfície é de revolução? Caso sim, determine a equação da curva geratriz e do seu eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas de equação
S:\;4x^{2}-16x+y^{2}-8y+4z^{2}+8z+20=0,
destacar suas interseções com os eixos coordenados e com os planos xy, yz e xz, e verificar se é superfície de revolução.
Conteúdo: classificação de quádricas por completamento de quadrados e análise de simetrias.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x, y e z.
Agrupando termos:
4(x^{2}-4x)+\bigl(y^{2}-8y\bigr)+4\bigl(z^{2}+2z\bigr)+20=0.
Completo quadrado a cada grupo:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,\quad y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16,\quad z^{2}+2z=(z+1)^{2}-1.
Substituindo e simplificando:
4\bigl[(x-2)^{2}-4\bigr]+\bigl[(y-4)^{2}-16\bigr] +4\bigl[(z+1)^{2}-1\bigr]+20=0
4(x-2)^{2}-16+(y-4)^{2}-16+4(z+1)^{2}-4+20=0
4(x-2)^{2}+(y-4)^{2}+4(z+1)^{2}-16=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(x-2)^{2}+(y-4)^{2}+4(z+1)^{2}=16.
Dividindo por 16:
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-4)^{2}}{16}+\frac{(z+1)^{2}}{4}=1.

Passo 3

Essa é a forma canônica de um elipsoide.
Centro em C=(2,4,-1).
Semieixos:
\;a=\sqrt{4}=2 ao longo de x,
\;b=\sqrt{16}=4 ao longo de y,
\;c=\sqrt{4}=2 ao longo de z.

Passo 4

Interseções com os eixos ( y=z=0, x=z=0, x=y=0):
  • eixo x: y=0, z=0 em 4x^{2}-16x+20=0 dá discriminante negativo \to nenhuma.
  • eixo y: x=0, z=0 em y^{2}-8y+20=0 dá discriminante negativo \to nenhuma.
  • eixo z: x=0, y=0 em 4z^{2}+8z+20=0 dá discriminante negativo \to nenhuma.

Passo 5

Interseções com planos coordenados:
  • plano z=0:
4(x-2)^{2}+(y-4)^{2}+4(0+1)^{2}=16 \;\Longrightarrow\; 4(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=12 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-2)^{2}}{3}+\frac{(y-4)^{2}}{12}=1.
  • plano y=0:
    \;(x-2)^{2}/4+(0-4)^{2}/16+(z+1)^{2}/4=1
    \Leftrightarrow 1+(x-2)^{2}/4+(z+1)^{2}/4=1
    \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(z+1)^{2}=0
    \Leftrightarrow ponto (2,0,-1).
  • plano x=0:
    \;(0-2)^{2}/4+(y-4)^{2}/16+(z+1)^{2}/4=1
    \Leftrightarrow 1+(y-4)^{2}/16+(z+1)^{2}/4=1
    \Leftrightarrow (y-4)^{2}+(4(z+1)^{2})=0
    \Leftrightarrow ponto (0,4,-1).

Passo 6

Como os semieixos em x e z são iguais ( 2), o elipsoide é de revolução em torno do eixo paralelo a y que passa pelo centro C.
Eixo de revolução: reta
\{\,x=2,\;z=-1\},\quad y\in\mathbb{R}.
Curva geratriz (seção em z=-1): fixo z+1=0 na forma canônica:
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-4)^{2}}{16}=1,
que é a elipse geratriz no plano z=-1.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado em (2,4,-1) com semieixos 2 (em x), 4 (em y) e 2 (em z).
Interseções com eixos: nenhuma.
Interseção com z=0: elipse \frac{(x-2)^{2}}{3}+\frac{(y-4)^{2}}{12}=1.
Interseções com y=0 e x=0: pontos (2,0,-1) e (0,4,-1), respectivamente.
É superfície de revolução em torno da reta x=2,\;z=-1.
Geratriz (seção em z=-1):
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-4)^{2}}{16}=1.

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