QUESTÃO 3: (Valor: 4,0 pts) Identifique e esboce a superfície quádrica de equação:
Destaque as interseções com os eixos e planos coordenados. Essa superfície é de revolução? Caso sim, determine a equação da curva geratriz e do seu eixo de revolução.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas de equação
destacar suas interseções com os eixos coordenados e com os planos
,
e
, e verificar se é superfície de revolução.
Conteúdo: classificação de quádricas por completamento de quadrados e análise de simetrias.
Conteúdo: classificação de quádricas por completamento de quadrados e análise de simetrias.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
,
e
.
Agrupando termos:
Agrupando termos:
Completo quadrado a cada grupo:
Substituindo e simplificando:
Dividindo por
:
Passo 3
Essa é a forma canônica de um elipsoide.
Centro em .
Semieixos:
ao longo de
,
ao longo de
,
ao longo de
.
Centro em
Semieixos:
Passo 4
Interseções com os eixos (
,
,
):
- eixo
: , em dá discriminante negativo nenhuma. - eixo
: , em dá discriminante negativo nenhuma. - eixo
: , em dá discriminante negativo nenhuma.
Passo 5
Interseções com planos coordenados:
- plano
:
- plano
:
ponto . - plano
:
ponto .
Passo 6
Como os semieixos em
e
são iguais (
), o elipsoide é de revolução em torno do eixo paralelo a
que passa pelo centro
.
Eixo de revolução: reta
Eixo de revolução: reta
Curva geratriz (seção em
): fixo
na forma canônica:
que é a elipse geratriz no plano
.
Resposta
A superfície é um elipsoide centrado em
com semieixos
(em
),
(em
) e
(em
).
Interseções com eixos: nenhuma.
Interseção com : elipse
.
Interseções com e
: pontos
e
, respectivamente.
É superfície de revolução em torno da reta .
Geratriz (seção em ):
Interseções com eixos: nenhuma.
Interseção com
Interseções com
É superfície de revolução em torno da reta
Geratriz (seção em