Mostre que
(2 x+2) \sin y d x+x \cos y d y=0
não é exata, mas admite um fator integrante \mu=\mu(x). Encontre-o.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial total
(2 x+2) \sin y\, d x + x \cos y\, d y = 0
e pede duas coisas: mostrar que essa forma não é exata e mostrar que ela admite um fator integrante do tipo \mu=\mu(x). Ou seja, encontrar uma função \mu(x) tal que, multiplicando a equação por \mu(x), a nova forma seja exata.
As informações importantes que vamos usar imediatamente são:
  • Podemos escrever a forma como M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y=0 com M(x,y) = (2x+2)\sin y,\qquad N(x,y) = x\cos y.
  • Para testar exatidão vamos precisar de \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Testar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais e comparar.
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big((2x+2)\sin y\big)=(2x+2)\cos y,
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos y\big)=\cos y.
Como (2x+2)\cos y \neq \cos y em geral (mais precisamente diferem por um fator 2x+2 versus 1), concluímos que
\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x},
logo a forma não é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante dependendo só de x: dedução da condição para \mu=\mu(x).
Se existe \mu=\mu(x) tal que \mu M\,d x+\mu N\,d y é exata, então deve valer
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu(x)M(x,y)\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu(x)N(x,y)\big).
Como \mu depende apenas de x, a igualdade fica
\mu(x)\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'(x)N(x,y)+\mu(x)\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \mu(x) (assumindo \mu\neq0) obtemos uma equação para \dfrac{\mu'}{\mu}:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)}.
Observação importante: o lado direito deve depender apenas de x para que exista \mu(x). Vamos calcular esse lado direito com nossos M e N.

Passo 4

Calcular a razão e integrar para encontrar \mu.
Usando os resultados do Passo 2,
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=(2x+2)\cos y-\cos y=(2x+1)\cos y.
Dividindo por N(x,y)=x\cos y (observe que \cos y se cancela quando \cos y\neq0) obtemos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{(2x+1)\cos y}{x\cos y}=\frac{2x+1}{x}.
Note que esse resultado depende só de x, portanto existe um \mu(x). Agora
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados em x,
\ln|\mu(x)|=\int\left(2+\frac{1}{x}\right)\,dx=2x+\ln|x|+C.
Exponenciando,
\mu(x)=C\,e^{2x}|x|.
Como um fator constante C\neq0 pode ser absorvido (qualquer múltiplo não-nulo de um fator integrante também é fator integrante), escolhemos a forma simples
\mu(x)=x e^{2x},
assumindo x em domínio onde o sinal é consistente (ou usando |x|e^{2x} se desejar a versão absoluta).

Passo 5

Verificação rápida (checagem) de que \mu(x)=x e^{2x} torna a forma exata.
Multiplicando os termos:
\tilde M(x,y)=\mu M = x e^{2x}(2x+2)\sin y = e^{2x}(2x^2+2x)\sin y,
\tilde N(x,y)=\mu N = x e^{2x}\cdot x\cos y = e^{2x}x^2\cos y.
Calculemos as parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=e^{2x}(2x^2+2x)\cos y,
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\cos y\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{2x}x^2\big)=\cos y\cdot e^{2x}(2x^2+2x)=e^{2x}(2x^2+2x)\cos y.
Como as duas derivadas coincidem, a forma multiplicada por \mu(x)=x e^{2x} é de fato exata. Portanto \mu(x)=x e^{2x} é um fator integrante válido.

Resposta

\mu(x)=x e^{2x}

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