Mostre que
não é exata, mas admite um fator integrante
. Encontre-o.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial total
e pede duas coisas: mostrar que essa forma não é exata e mostrar que ela admite um fator integrante do tipo
. Ou seja, encontrar uma função
tal que, multiplicando a equação por
, a nova forma seja exata.
As informações importantes que vamos usar imediatamente são:
- Podemos escrever a forma como
com - Para testar exatidão vamos precisar de
e .
Passo 2
Testar se a equação é exata: calcular as derivadas parciais e comparar.
Calculemos
e
Como
em geral (mais precisamente diferem por um fator
versus
), concluímos que
logo a forma não é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante dependendo só de
: dedução da condição para
.
Se existe
tal que
é exata, então deve valer
Como
depende apenas de
, a igualdade fica
Dividindo por
(assumindo
) obtemos uma equação para
:
Observação importante: o lado direito deve depender apenas de
para que exista
. Vamos calcular esse lado direito com nossos
e
.
Passo 4
Calcular a razão e integrar para encontrar
.
Usando os resultados do Passo 2,
Dividindo por
(observe que
se cancela quando
) obtemos
Note que esse resultado depende só de
, portanto existe um
. Agora
Integrando ambos os lados em
,
Exponenciando,
Como um fator constante
pode ser absorvido (qualquer múltiplo não-nulo de um fator integrante também é fator integrante), escolhemos a forma simples
assumindo
em domínio onde o sinal é consistente (ou usando
se desejar a versão absoluta).
Passo 5
Verificação rápida (checagem) de que
torna a forma exata.
Multiplicando os termos:
Calculemos as parciais:
Como as duas derivadas coincidem, a forma multiplicada por
é de fato exata. Portanto
é um fator integrante válido.