Seja
uma sequência de variáveis aleatórias tal que
. Defina
e
.
(a) Mostre que
.
(a) Mostre que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias $ X_n $ que seguem uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{2} $. Definimos $ Y_n $ como a média dessas variáveis, ou seja, $ Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $. A pergunta é para mostrar que $ Y_n $ converge em probabilidade para 2 quando $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei dos Grandes Números, que nos ajuda a entender o comportamento de médias de variáveis aleatórias quando o número de termos aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma variável aleatória Exponencial. Se $ X \sim Exp(\lambda) $, então a esperança matemática (ou média) de $ X $ é dada por:
No nosso caso, $ \lambda = \frac{1}{2} $, então:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a média das $ X_i $, que é $ Y_n $:
A Lei dos Grandes Números nos diz que, conforme $ n $ cresce, $ Y_n $ vai se aproximar da média esperada de $ X_i $, ou seja, $ E[X_i] $.
Passo 4
Aplicando a Lei dos Grandes Números, temos que:
Isso significa que, para qualquer pequeno valor $ \epsilon > 0 $, a probabilidade de $ Y_n $ estar a uma distância maior que $ \epsilon $ de 2 tende a zero conforme $ n $ tende ao infinito.
Resposta
Portanto, $ Y_n $ converge em probabilidade para 2.